Nombre parfait

Illustration du caractère parfait du nombre 6

Illustration du caractère parfait du nombre 6 à l'aide de réglettes Cuisenaire : 6 est divisible par 1 (réglettes blanches), par 2 (réglettes rouges) et par 3 (réglettes vertes) et la somme de ces trois réglettes redonne bien 6

En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3.

Voir la Modèle:OEIS.

Nombres parfaits pairs

Premières découvertes

Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide, au Modèle:Lien siècle av JCModèle:Vérification siècle, a démontré que si M = 2^p − 1 est premier, alors M(M + 1)/2 = 2^p–1(2^p – 1) est parfait.

Par ailleurs, Leonhard Euler, au Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle, a démontré que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres de Mersenne premiers (nombres premiers de la forme M_p = 2^p − 1, l'entier p étant alors nécessairement premier). La « perfection » d'un tel nombre s'écrit :

<math>2^{p-1}(2^p-1)=2^{p-1}M_p=1+2+4+\cdots+2^{p-1}+M_p+2M_p+4M_p+\cdots+2^{p-2}M_p.</math>

Exemples

Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l'Antiquité :

• 6 = 2¹(2² – 1) = (1 + 2) + 3 ;
• 28 = 2²(2Modèle:3 – 1) = (1 + 2 + 4) + (7 + 14) ;
• 496 = 2⁴(2⁵ – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + (31 + 62 + 124 + 248) ;
• 8 128 = 2⁶(2⁷ – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) + (127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064).

Depuis, le total est passé à 51 nombres parfaits (puisqu'on ne connaît que 51 nombres de Mersenne premiers, le dernier découvert en décembre 2018) sans même que l'on sache, à partir du Modèle:47e, s'il n'y a pas des « trous » (des nombres parfaits intermédiaires non encore découverts)<ref name="Caldwell">{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Mersenne primes and perfect numbers sur le site Prime Pages.</ref><ref name="GIMPS">{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} GIMPS Milestones sur le site Great Internet Mersenne Prime Search.</ref>.

Les sept premiers nombres parfaits pairs sont donnés dans le tableau suivant<ref>La ligne p = 11 est absente car M₁₁ n'est pas premier. Pour toute la liste connue, voir « Nombre de Mersenne premier ».</ref> :

p	Nombre de Mersenne premier Mp	Nombre parfait 2p–1Mp
2	3	6
3	7	28
5	31	496
7	127	8 128
13	8 191	33 550 336
17	131 071	8 589 869 056
19	524 287	137 438 691 328

Propriétés

Tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.

En 2000, Douglas Iannucci a démontré que tous les nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base deux<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Douglas E. Iannucci, « The Kaprekar Numbers », Journal of Integer Sequences, vol. 3, 2000, Article 00.1.2.</ref>.

Les nombres parfaits pairs étant de la forme 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1), ce sont des nombres triangulaires (et même hexagonaux) et, en tant que tels, la somme des entiers naturels jusqu'à un certain rang (impair), en l'occurrence 2ⁿ − 1. De plus, tous les nombres parfaits pairs, excepté le premier, sont la somme des 2^(n−1)/2 premiers cubes impairs. Par exemple :

28 = 1Modèle:3 + 3Modèle:3 ;

496 = 1Modèle:3 + 3Modèle:3 + 5Modèle:3 + 7Modèle:3 ;

8128 = 1Modèle:3 + 3Modèle:3 + 5Modèle:3 + 7Modèle:3 + 9Modèle:3 + 11Modèle:3 + 13Modèle:3 + 15Modèle:3.

La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait pair est égale à 2.

Pour 2^p–1(2^p – 1), cette somme est égale à <math>\left(\sum_{k=0}^{p-1}\frac1{2^k}\right)\left(1+\frac1{2^p-1}\right)=\frac{1-\frac1{2^p}}{1-\frac12} \left(1+\frac1{2^p-1}\right)=2</math>.

Nombre parfait impair

Aujourd'hui, les mathématiciens ignorent si des nombres parfaits impairs existent. Différents travaux ont été entrepris mais aucun ne permet d'affirmer ou d'infirmer leur existence. En 1496, Jacques Lefèvre a affirmé que tout nombre parfait est de la forme décrite par Euclide<ref>Modèle:Dickson1, vol. I, Modèle:P..</ref>, ce qui impliquerait bien sûr qu'aucun nombre parfait impair n'existe. En 2003, Carl Pomerance a présenté une méthode heuristique qui suggère qu'aucun nombre parfait impair n'existe<ref name="oddperfect">{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Oddperfect.org.</ref>.

Un nombre parfait impair N doit remplir les conditions suivantes<ref group="alpha">Dans ce qui suit, <math>k</math> désigne le nombre de facteurs premiers distincts de N Modèle:Nobr (soient q et p₁ à p_k).</ref>:

• N est supérieur à<ref name="oddperfect2">Modèle:Article.</ref> 10^{1 500}.
• N est de la forme <math>N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \ldots p_k^{2e_k}</math> où :
  • q, p₁, … , p_k sont des nombres premiers distincts (Euler) ;
  • q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler) ;
  • le plus petit facteur premier de N est inférieur à<ref>Modèle:Article.</ref> (2k + 8) / 3 ;
  • la relation e₁ ≡ e₂ ≡ … ≡ e_k ≡ 1 (modulo 3) n'est pas satisfaite<ref name=McDaniel1970>Modèle:Article.</ref> ;
  • q^α > 10⁶² ou p_j^2e_j > 10⁶² pour au moins un<ref name="oddperfect2"/> j ;
  • N est inférieur à<ref>Modèle:Article.</ref> 2^4k.
• Si e_i ≤ 2 pour tout i :
  • le plus petit diviseur premier de N est au moins<ref>Modèle:Article.</ref> 739 ;
  • α ≡ 1 (modulo 12) ou α ≡ 9 (modulo 12)<ref name=McDaniel1970/>.
• N est de la forme 12m + 1 ou 324m + 81 ou 468m + 117<ref name=Roberts2008>Modèle:Article.</ref>.
• Le plus grand diviseur premier de N est supérieur à<ref>Modèle:Article.</ref> 10⁸.
• Le second plus grand diviseur premier de N est supérieur à<ref>Modèle:Article</ref> 10⁴ et le troisième à<ref>Modèle:Article.</ref> 100.
• N se décompose en au moins 101 facteurs premiers<ref name="oddperfect2"/> dont au moins 10 facteurs premiers distincts<ref>Modèle:Article.</ref>. Si 3 n'est pas un diviseur de N, alors N comporte au moins 12 diviseurs premiers distincts<ref>Modèle:Article, Modèle:Arxiv2.</ref>.

John Voight a trouvé un nombre impair Modèle:Formule où Modèle:Formule et Modèle:Formule sont premiers entre eux, Modèle:Formule premier et <math>\sigma(n)(p-1)=2N</math>, alors qu'il faudrait <math>\sigma(n)(p+1)=2N</math> pour que Modèle:Formule soit parfait impair ( <math>n=3^4 7^2 11^2 19^2 </math> et <math>p=127</math>) <ref name="Quanta">Modèle:Lien web</ref><ref name="BYU">Modèle:Article arXiv version</ref>. Il considère alors <math>-N=n(-p)</math> comme nombre parfait impair négatif.

Propriétés mineures

Comme on l'a vu précédemment les nombres parfaits pairs ont une forme bien précise et les nombres parfaits impairs sont rares si tant est qu'ils existent. Il existe un certain nombre de propriétés simples à démontrer sur les nombres parfaits :

• Un nombre parfait n'est pas divisible par 105<ref>Modèle:Article.</ref><ref group = alpha>Ce résultat ancien est beaucoup moins précis que ceux connus actuellement Modèle:Supra.</ref>.
• Le seul nombre parfait pair de la forme Modèle:Math est 28<ref>Modèle:Article.</ref>.
• Un nombre de Fermat ne peut être parfait<ref>Modèle:Article.</ref>.
• La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait vaut 2 :
  • pour 6, Modèle:Math ;
  • pour 28, Modèle:Math.
• Le nombre de diviseurs d'un nombre parfait N (pair ou impair) est pair, puisque N ne peut être un carré parfait<ref name="Caldwell"/>.
  • De ces deux résultats on déduit que tout nombre parfait est un nombre à moyenne harmonique entière.
• En base 10, tous les nombres parfaits pairs se terminent par 6 ou 28 ; en base 9, à la seule exception de 6, ils se terminent tous par 1<ref>H. Novarese. Note sur les nombres parfaits, Texeira J. VIII (1886), 11-16.</ref><ref>Modèle:Dickson1, vol. I, Modèle:P..</ref>.
• Le seul nombre parfait sans facteur carré est 6.

Notions apparentées

Si la somme des diviseurs stricts est plus petite que le nombre, ce nombre est dit déficient. Dans le cas où la somme est plus grande, le nombre est dit abondant. Ces termes sont issus de la numérologie grecque. Un couple de nombres dont chacun est la somme des diviseurs stricts de l'autre est dit amical, les cycles plus étendus sont dits sociables. Un entier positif tel que chaque entier inférieur est la somme de diviseurs distincts du premier nombre est dit pratique.

Voir aussi

• Nombre presque parfait
• Nombre de Descartes (faux nombre parfait impair)

Liens externes

• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Sobre el patrón de los números primos
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Known Perfect Numbers