Partie étoilée

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Exemple de partie étoilée : la partie rouge est :
– étoilée par rapport au point vert ;
– mais non étoilée par rapport au point bleu.

En géométrie, une partie A d'un espace affine réel E est dite étoilée par rapport à un point a de A si, pour tout point x de A, le segment [a, x] est contenu dans A, c'est-à-dire que dans A, tout point peut être relié à a par un chemin rectiligne.

Définitions

Plus formellement, puisque le segment [a, x] est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs des points a et x : une partie non vide A de E est étoilée par rapport à un point a de E si

<math>\forall x\in A\quad\{(1-t)a + tx\mid t\in\left[0,1\right]\}\subset A.</math>

(Cette condition assure que a est forcément dans A.)

Une partie de E est dite étoilée (sans plus de précisions) si elle est étoilée par rapport à un point au moins.

Propriétés affines

• Une partie non vide est étoilée par rapport à a si et seulement si elle est stable sous l'action des homothéties de centre a et de rapport t pour <math>t\in\left[0,1\right]</math>.
• Une partie de E est convexe si et seulement si elle est étoilée par rapport à chacun de ses points.
• Dans le plan, le complémentaire d'une demi-droite est étoilé mais n'est pas convexe ; le complémentaire d'un point n'est pas étoilé.
• Une partie <math>A</math> d'un espace vectoriel réel <math>E</math> est étoilée par rapport à <math>0</math> si et seulement s'il existe une fonction <math>p:E\to\left[0,+\infty\right]</math> positivement homogène (au sens : <math>\forall t\in\left[0,+\infty\right[\quad\forall x\in E\quad p(tx)=tp(x)</math>, avec la convention <math>0\times\infty=0</math>) telle que <math>\{x\in E\mid p(x)<1\}\subset A\subset\{x\in E\mid p(x)\le1\}</math>. Une telle fonction est alors nécessairement égale à la fonctionnelle de Minkowski de <math>A</math> : <math>\forall x\in E\quad p(x)=\inf{\{\lambda >0\mid x\in\lambda A\}}</math><ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Propriétés topologiques

On suppose ici que l'espace affine réel E est topologique, c'est-à-dire associé à un espace vectoriel topologique.

• Toute partie étoilée a le type d'homotopie d'un point.
• Toute partie étoilée est connexe par arcs, et donc tout ouvert étoilé est un domaine (c'est-à-dire un ouvert connexe par arcs).
• La propriété d'être étoilé n'est pas invariante par homéomorphisme, mais les ouverts étoilés sont parmi les exemples les plus simples et les plus importants d'espaces contractiles.
• D'après le lemme de Poincaré, toute forme différentielle fermée sur un ouvert étoilé est exacte.