Logarithme

Modèle:Homophone [[Fichier:Logarithm plots.png|vignette|Tracés des courbes des fonctions logarithmes en base 2, [[e (nombre)|Modèle:Math]] et 10.]]

En mathématiques, un logarithme est la fonction réciproque d'une exponentiation, c'est-à-dire que le logarithme de base Modèle:Mvar d'un nombre réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base Modèle:Mvar pour obtenir ce nombre. Modèle:Exemple Dans ce cas, le plus simple, le logarithme est le nombre entier qui compte les répétitions de la base multipliée par elle-même. Dans cette opération, multiplier un nombre par la base équivaut à ajouter 1 à son logarithme. L'exponentiation généralise cette opération de multiplication par soi-même à des puissances intermédiaires entre les entiers, qu'on exprime en nombres réels. Modèle:Exemple

Le logarithme de base Modèle:Mvar du nombre Modèle:Mvar se note Modèle:Math. Si la base est évidente d'après le contexte, ou si elle n'a pas d'importance, on peut écrire simplement Modèle:Math. Par définition, <math>b^{\log_bx}=x</math>.

John Napier a développé les logarithmes au début du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle. L'utilité du logarithme pour le calcul vient du fait que la fonction logarithme transforme un produit en somme : <math> \log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \,</math>. Pendant trois siècles, la table de logarithmes et la règle à calcul, fondée sur une échelle logarithmique, ont servi pour le calcul, jusqu'à leur remplacement, à la fin du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, par des calculatrices.

Le logarithme permet en outre de présenter sous une forme concise des relations entre nombres d'ordre de grandeur très différents.

Trois fonctions logarithmes sont d'usage courant :

• Le logarithme népérien (ou naturel) dont la base est le [[e (nombre)|nombre Modèle:Math]], est fondamental en analyse mathématique car il est la primitive de la fonction <math>x\mapsto\tfrac1x</math> s’annulant en 1 et la fonction réciproque de la fonction exponentielle ; il est souvent noté Modèle:Math sauf en informatique ou en théorie des nombres où Modèle:Math sans autre précision signifie en général logarithme népérien ;
• Le logarithme décimal, dont la base est 10, reste le plus communément utilisé pour les calculs dans le domaine technologique ainsi qu'en chimie pour le calcul de pH.
• Le logarithme binaire, dont la base est 2, est utile en informatique théorique et pour certains calculs appliqués.

Le logarithme complexe généralise la notion de logarithme aux nombres complexes.

Motivation

Une échelle logarithmique permet de représenter sur un même graphique des nombres dont l'ordre de grandeur est très différent. Les sciences appliquées les utilisent fréquemment dans les formules, comme celles qui évaluent la complexité des algorithmes ou des fractales et celles qui dénombrent les nombres premiers. Ils décrivent les intervalles musicaux et selon le modèle de Weber-Fechner s'appliquent généralement en psychophysique.

Tout logarithme transforme

• un produit en somme : <math> \log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \,</math>
• un quotient en différence : <math> \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y \,</math>
• une puissance en produit : <math> \log_b(x^y) = y \log_b x. \,</math>

Historique

Modèle:Article détaillé Vers la fin du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, le développement de l'astronomie et de la navigation maritime d'une part et les calculs bancaires d'intérêts composés d'autre part<ref>Jean-Pierre Friedelmeyer, L'invention des logarithmes par Neper et le calcul des logarithmes décimaux par Briggs.</ref>, poussent les mathématiciens à chercher des méthodes de simplification de calculs et en particulier le remplacement des multiplications par des sommes.

Utilisant les tables trigonométriques, les mathématiciens Paul Wittich et Christophe Clavius (dans son traité Modèle:Langue<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Encyclopedia Britannica, « John Napier », note 2.</ref>) établissent des correspondances entre produit ou quotient d'une part et somme, différence et division par deux d'autre part, pour des nombres de 0 à 1 à l'aide de relations trigonométriques<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>, méthode dite de prostaphérèse<ref>Modèle:Article.</ref>.

Quelques années plus tard Simon Stévin, intendant général de l'armée hollandaise, met au point des tables de calculs d'intérêts composés. Jost Bürgi poursuit ce travail et publie en 1620, dans son Modèle:Lang, une table de correspondance entre Modèle:Mvar et Modèle:Math. À une somme dans la première colonne correspond ainsi un produit dans la seconde colonne<ref name="pedm">Petite encyclopédie de mathématiques, Didier, 1980, Modèle:P..</ref>.

En 1614, John Napier (ou Neper) publie son traité Modèle:Lang. Il ne songe pas qu’il est en train de créer de nouvelles fonctions, mais seulement des tables de correspondance (Modèle:Langue = rapport, relation, Modèle:Langue = nombre) entre deux séries de valeurs telles qu'à un produit dans une colonne correspond une somme dans une autre. La notation Log comme abréviation de logarithme apparaît en 1616 dans une traduction anglaise de l'œuvre de Neper<ref>Modèle:Lien web.</ref>. En 1619, paraît son œuvre posthume Modèle:Lang, où il explique comment construire une table de logarithmes.

Le mathématicien anglais Henry Briggs poursuit ce travail et publie en 1624 ses tables de logarithmes décimaux (Modèle:Lang) à 14 chiffres des nombres compris entre 1 et 20 000 et entre 90 000 et 100 000. Il indique les méthodes d’emploi des tables pour calculer des sinus ou les angles à partir de leur tangente… La même année, Johannes Kepler publie Modèle:Lang construites en utilisant un procédé géométrique<ref>Modèle:Lien web.</ref>. Ezechiel de Decker et Adriaan Vlacq complètent la table de Briggs en 1627<ref name="pedm"/>

En 1647, Grégoire de Saint-Vincent, travaillant sur la quadrature de l’hyperbole, définit la fonction primitive de la fonction <math>x \mapsto \tfrac 1 x</math> s’annulant en 1. Huygens remarquera en 1661 que cette fonction se trouve être une fonction logarithme particulière : le logarithme naturel<ref>Modèle:Lien web</ref>.

La correspondance entre les fonctions exponentielle et logarithme n’apparaît qu'après le travail de Leibniz sur la notion de fonction, en 1697.

Propriétés des fonctions logarithmes

Dans cette section, nous donnons des propriétés d'une fonction logarithme, quelle que soit sa base Modèle:Mvar.

Propriétés algébriques

Les fonctions logarithme sont par définition les morphismes continus non constamment nuls de <math>(\R_+^{*},\times)</math> vers <math>(\R,+)</math>.

Pour tout réel Modèle:Mvar strictement positif et différent de 1, le logarithme de base Modèle:Mvar : Modèle:Math est la fonction continue définie sur <math>\R^*_+</math> vérifiant l'équation fonctionnelle :

pour tous Modèle:Mvar et Modèle:Mvar réels strictement positifs,

<math>\log_b(x y) = \log_b(x) + \log_b(y)</math>

et

<math>\log_b(b) = 1</math>

Cette définition permet de déduire rapidement les propriétés suivantes :

<math>\log_b(1) = 0</math>

<math>\log_b(x/y) = \log_b(x) - \log_b(y)</math>

<math>\log_b(x^y)=y \log_b(x)</math>

<math>\log_b(b^n) = n</math> pour tout entier naturel Modèle:Mvar, puis pour tout entier relatif Modèle:Mvar

<math>\log_b(b^r) = r</math> pour tout rationnel Modèle:Mvar.

Comme tout réel strictement positif Modèle:Mvar est la limite d'une suite dont le terme général est de la forme Modèle:Mvar, où Modèle:Math est une suite de rationnels convergeant vers un réel <math>\ell</math>, on détermine Modèle:Math comme étant la limite de Modèle:Mvar.

Changement de base

Deux fonctions logarithmes ne diffèrent que d’une constante multiplicative : pour tous réels strictement positifs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar différents de 1 et pour tout réel Modèle:Math,

<math>\log_b(x)=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}</math>.

Toutes les fonctions logarithmes peuvent donc s’exprimer à l’aide d’une seule, par exemple la fonction logarithme népérien : pour tout réel strictement positif Modèle:Mvar différent de 1 et pour tout réel Modèle:Math,

<math>\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}</math>.

Dérivée

La fonction Modèle:Math est dérivable sur <math>\R_+^*</math> de dérivée :

<math>\log_b'(x)=\frac1{x\ln(b)}</math> qui a même signe que Modèle:Math.

Donc la fonction Modèle:Math est strictement monotone, croissante quand Modèle:Mvar est supérieur à 1, décroissante dans le cas contraire.

Nombre de chiffres avant la virgule

Si Modèle:Mvar est un entier supérieur ou égal à 2 et Modèle:Math, la [[Base (arithmétique)#Développement en base entière|représentation propre de Modèle:Mvar en base]] Modèle:Mvar possède Modèle:Mvar chiffres avant la virgule si et seulement si <math>b^{n-1}\leqslant x<b^n</math>, soit <math>n-1\leqslant \log_bx<n</math>. Le nombre de chiffres Modèle:Mvar est donc égal à <math>\left\lfloor{\log_b x}\right\rfloor +1</math>.

Et lorsque Modèle:Mvar tend vers l'infini, on a donc <math>\log_b x\sim n(x)</math>.

Fonction réciproque (antilogarithme)

Fichier:Logarithm inversefunctiontoexp.svg

Représentation dans le cas Modèle:Math. Le graphe de la fonction logarithmique Modèle:Math (bleu) est obtenu en reflétant celui de la fonction Modèle:Mvar (rouge) par rapport à la diagonale Modèle:Nobr

La fonction <math>\log_b:\R_+^*\to\R</math> est la bijection réciproque de la fonction exponentielle de base Modèle:Mvar<ref>Modèle:Ouvrage, section 1.6.</ref>, parfois appelée antilogarithme de base Modèle:Mvar :

<math>\operatorname{antilog_b}:\R\to\R_+^*,\;x \mapsto b^x</math>.

Autrement dit, les deux façons possibles de combiner (ou composer) les logarithmes et l’élévation à des puissances redonnent le nombre original :

• pour tout réel Modèle:Math, prendre la puissance Modèle:Nobr de Modèle:Math, puis le logarithme en base Modèle:Math de cette puissance, redonne Modèle:Math :<math>\forall x\in\R_+^*\quad\log_b(b^x)=x\log_b(b)=x</math> ;
• inversement, pour tout réel Modèle:Math strictement positif, prendre d'abord le logarithme en base Modèle:Math, puis élever Modèle:Math à sa puissance, redonne Modèle:Math :<math>b^{\log_b(y)} = y.</math>

Les fonctions réciproques sont étroitement liées aux fonctions originales. Leurs graphes, qui se correspondent lorsqu’on échange les coordonnées Modèle:Math et Modèle:Math (ou par réflexion par rapport à la diagonale Modèle:Math), sont montrés à droite dans le cas où Modèle:Math est un réel strictement supérieur à 1 : un point Modèle:Math sur le graphe (rouge) de la fonction antilogarithme Modèle:Math fournit un point Modèle:Math sur le graphe (bleu) du logarithme et vice versa. Comme Modèle:Math, la fonction Modèle:Math est croissante et quand Modèle:Math tend vers Modèle:Math, Modèle:Math tend vers Modèle:Math, tandis que lorsque Modèle:Math approche zéro, Modèle:Math tend vers Modèle:Math. Dans le cas où le réel Modèle:Math est strictement compris entre 0 et 1, la fonction Modèle:Math est décroissante et ces limites sont interverties.

En matière de calcul, l'antilog ramène des logarithmes aux valeurs. Soit à évaluer une formule Modèle:Mvar combinant multiplications, divisions et exponentiations, et soit Modèle:Mvar la formule définissant le logarithme de Modèle:Mvar en combinant sommes, différences et produits des (logarithmes) des données. La valeur de Modèle:Mvar peut s'obtenir comme l'antilog de la valeur de Modèle:Mvar, ce qui conclut le calcul. On peut ainsi remplacer l'évaluation <math>F = (x \times y \times z)^{1/3}</math>

par

<math>F = \operatorname{antilog}_b\left(\frac{\log_b(x) + \log_b(y)+ \log_b (z)}3\right) </math>.

Fonctions logarithme courantes

Logarithme népérien

Le logarithme népérien, ou logarithme naturel, est la fonction logarithme dont la dérivée est la fonction inverse définie de <math>\R_+^*</math> dans <math>\R</math> : <math> x \mapsto \frac 1 x</math>.

La fonction de Neper est par convention notée « Modèle:Math »<ref>La norme AFNOR NF X 02-1 01, de 1961, recommande la notation ln (Tables numériques de J. Laborde, 1976, p. VI).</ref> ou « Modèle:Math », notation couramment utilisée en théorie des nombres et en informatique<ref>Langages C, Java, JavascriptModèle:Etc</ref>.

La base de la fonction logarithme népérien, notée e, est appelée nombre de Néper<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> ou nombre d'Euler<ref>Modèle:Ouvrage.</ref><ref>Ne pas confondre avec divers autres « nombres d'Euler ».</ref>.

Une valeur approchée est :

<math>\mathrm{e} \approx 2718</math>.

Logarithme décimal

C’est le logarithme le plus pratique dans les calculs numériques manuels, il est noté Modèle:Math ou Modèle:Math. La norme ISO 80000-2<ref>ISO 80000-2:2009. Organisation internationale de normalisation. Consulté le 19 janvier 2012.</ref> indique que log₁₀ devrait être noté lg, mais cette notation est rarement utilisée.

On le retrouve dans la création des échelles logarithmiques, les repères semi-logarithmiques ou log-log, dans la règle à calcul, dans le calcul du pH, dans l’unité du décibel.

Il précise à quelle puissance il faut élever 10 pour retrouver le nombre de départ : l'image d'un nombre par Modèle:Math est l'entier relatif auquel il faut élever 10 pour obtenir l'antécédent. Par exemple :

En base 10 :

<math>\log_{10}(10) = 1 \text{ car } 10^1 = 10</math>

<math>\log_{10}(100) = 2 \text{ car }10^2 = 100</math>

<math>\log_{10}(1000) = 3 \text{ car }10^3 = 1000</math>

<math>\log_{10}(0,01) = -2 \text{ car } 10^{-2} = 0,01</math>

La valeur du logarithme d’autres nombres que des puissances de 10 demande un calcul approché. Le calcul de Modèle:Math par exemple peut se faire à la main, en remarquant que 2¹⁰ ≈ 1000 donc Modèle:Math donc Modèle:Math.

Pour tout réel strictement positif Modèle:Mvar différent de 1 et pour tout réel Modèle:Math,

<math>\log_b(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)}</math>.

Logarithme binaire

Modèle:Article détaillé La norme ISO 80 000 recommande de noter Modèle:Math le logarithme en base 2<ref>Modèle:Lien web.</ref>.

Le logarithme binaire, d'usage spécialisé dans le calcul des intervalles musicaux à partir d'un rapport de fréquences, pour obtenir des octaves, des demi-tons ou des cents, a trouvé beaucoup plus d'application en informatique. Les ordinateurs travaillant en système binaire, le calcul d'un logarithme en base 2 se fait par l'algorithme le plus précis et le plus efficace.

Un nombre x codé en virgule flottante binaire se décompose en une mantisse m, comprise entre 1 (inclus) et 2 (exclu) et un exposant p, indiquant la puissance de 2 qui multiplie la mantisse pour obtenir le nombre. L'exposant est la partie entière du logarithme binaire, tandis que le logarithme binaire de la mantisse est compris entre 0 (inclus) et 1 (exclu).

<math>x = 2^p \times m \Longrightarrow \textrm{lb}(x) = p + \textrm{lb}(m).</math>

Ce qui ramène le calcul à celui du logarithme binaire d'un nombre entre 1 (inclus) et 2 (exclu). Si on multiplie ce nombre par lui-même, et que le résultat dépasse 2, c'est que le nombre est supérieur à Modèle:Racine : le chiffre suivant, après la virgule, est un 1, dans le cas contraire, c'est un 0. On continue par itération jusqu'à la précision souhaitée.

Les deux logarithmes précédents se déduisent de celui-ci par :

<math>\ln(x) = \frac{\mathrm{lb}(x)}{\mathrm{lb}(\mathrm e)} \text{ et } \log_{10}(x) = \frac{\mathrm{lb}(x)}{\mathrm{lb}(10)}</math>.

Cologarithme

Modèle:Article détaillé Le cologarithme d'un nombre est l'opposé du logarithme de ce nombre et le logarithme de son inverse<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> : <math>\operatorname{colog} _bx = - \log _bx = \log_b\frac{1}{x}</math>.

Généralisations

Le logarithme complexe est la fonction réciproque de l'exponentielle complexe et généralise ainsi la notion de logarithme aux nombres complexes. Le logarithme discret généralise les logarithmes aux groupes cycliques et a des applications en cryptographie à clé publique.

Voir aussi

Liens externes

• Simone Trompler, Histoire des logarithmes, publié en ligne en 2002 par l’Université libre de Bruxelles