Groupe spécial orthogonal
{{#invoke:Bandeau|ébauche}} En mathématiques, le groupe spécial orthogonal d'une forme quadratique q est un sous-groupe de son groupe orthogonal O(q). Il est constitué des éléments dont le déterminant est +1, en supposant que la forme quadratique est non dégénérée et que la caractéristique du corps de base est différente de 2. Ce sous-groupe, noté SO(q), est donc normal et même d'indice 2 (autrement dit, la composition dans O(q) suit la règle des signes : le composé de deux éléments est dans SO(q) si et seulement si ces éléments sont tous deux dans SO(q) ou tous deux dans son complémentaire).
Sur les réels à Modèle:Mvar dimensions, on le note couramment <math>\mathrm{SO}(n)</math>, et moins couramment <math>\mathrm{SO}(n,\R)</math>, le deuxième paramètre de la notation <math>\mathrm{SO}</math> étant le corps de base de ce groupe. On dit aussi que c'est le groupe des matrices de rotations à Modèle:Mvar dimensions. Les réflexions (par rapport à un hyperplan vectoriel) sont des exemples de transformations orthogonales de déterminant –1 ; la composée d'un nombre pair de telles transformations est une rotation.
Sur un espace vectoriel à Modèle:Mvar dimensions, les applications linéaires (identifiables aux matrices) forment elles-mêmes un espace à <math>n^2</math> dimensions, mais parmi celles-ci, le groupe <math>\mathrm{SO}(n)</math> n'a que <math>n(n-1)/2</math> degrés de liberté. C'est pourquoi une rotation en 2 dimensions s'exprime par un nombre seul alors que pour une rotation en 3 dimensions, on doit utiliser 3 nombres (voir « Angles d'Euler »).
Groupe spécial orthogonal du plan euclidien
Le groupe spécial orthogonal dans <math>\R^2</math>, c'est-à-dire le groupe <math>\mathrm{SO}(2)</math>, est le groupe des rotations vectorielles planes, homéomorphe au cercle unité.
Matriciellement, il s'écrit :
- <math>SO(2)=\left\{\left.\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\right|0\leq\theta<2\pi\right\}</math>. Modèle:Démonstration
