Fonction de Mertens

En théorie des nombres, la fonction de Mertens est

<math>M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)</math>

où Modèle:Math est la fonction de Möbius.

Moins formellement, Modèle:Math est le nombre d'entiers sans facteur carré inférieurs ou égaux à Modèle:Math et dont le nombre de facteurs premiers est pair, moins le nombre d'entiers sans facteur carré inférieurs ou égaux à Modèle:Math et dont le nombre de facteurs premiers est impair.

Croissance

Puisque la fonction de Möbius ne prend que les valeurs –1, 0 et +1, il est évident qu'il n'existe pas de x tel que |M(x)| > x. La conjecture de Mertens (1897) va même plus loin, énonçant qu'il n'existerait pas de x où la valeur absolue de la fonction de Mertens excède la racine carrée de x.

Andrew Odlyzko et Herman te Riele ont montré en 1985 que cette conjecture était fausse<ref>Modèle:Article.</ref>. Leur preuve ne produisait pas un contre-exemple explicite, mais on sait aujourd'hui que le plus petit contre-exemple est plus grand<ref>Modèle:Article.</ref> que 10¹⁴ et plus petit<ref>Modèle:Chapitre.</ref> que exp(1,59.10⁴⁰).

Néanmoins, l'hypothèse de Riemann est équivalente à une conjecture plus faible sur la croissance de M(x), explicitement : pour tout ε >0, M(x) = O(x^{Modèle:Frac + ε}), où O désigne la notation de Landau. Puisque les pics de M croissent au moins aussi rapidement que la racine carrée de Modèle:Math, ceci place une limite plutôt serrée sur le taux de croissance.

Représentations intégrales

En utilisant le produit eulérien, on trouve que

<math>\frac1{\zeta(s)}=\prod_p(1-p^{-s})=\sum_{n=1}^\infty\mu(n)n^{-s}</math>

où Modèle:Math est la fonction zêta de Riemann et le produit pris sur les nombres premiers. Alors, en utilisant cette série de Dirichlet avec la formule de Perron, on obtient :

<math>\frac1{2\pi i}\oint_C\mathrm ds\frac{x^s}{s\zeta(s)}=M(x)</math>

où Modèle:Math est une courbe fermée encerclant toutes les racines de Modèle:Math.

Inversement, on a la transformée de Mellin

<math>\frac{1}{\zeta(s)} = s\int_1^\infty \frac{M(x)}{x^{s+1}}~\mathrm dx</math>

qui reste valable pour Re(s) > 1.

Une bonne évaluation, au moins asymptotiquement, serait d'obtenir, par l'algorithme du gradient, une inégalité :

<math>\oint_C\mathrm dsF(s)e^{st}\sim M(e^t).</math>

Calcul

La fonction de Mertens a été calculée pour un intervalle de plus en plus grand de n.

Personne	Année	Limite
Mertens	1897	104
von Sterneck	1897	1,5 × 105
von Sterneck	1901	5 × 105
von Sterneck	1912	5 × 106
Neubauer	1963	108
Cohen et Dress	1979	7,8 × 109
Dress	1993	1012
Lioen et van de Lune	1994	1013
Kotnik et van de Lune	2003	1014
Hurst	2016	1016

Liens externes

• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Les valeurs de la fonction de Mertens pour les 50 premiers n sont données par Modèle:OEIS
• Modèle:MathWorld