Constante de Meissel-Mertens
En mathématiques, la constante de Meissel-Mertens (également nommée constante de Mertens, constante de Kronecker, constante de Hadamard-La Vallée Poussin ou constante des inverses des nombres premiers) est utilisée principalement en théorie des nombres. Elle est définie comme la limite de la différence entre la série des inverses des nombres premiers et le logarithme népérien du logarithme népérien.
Définition
Soit <math>S_n=\sum_{p\leqslant n}\frac1p</math> la somme des inverses des nombres premiers inférieurs ou égaux à <math>n</math>. La constante de Meissel-Mertens <math>M</math> est définie par :
- <math>M=\lim_{n\to\infty}\left(S_n-\ln(\ln n)\right)</math>.
La série des inverses des nombres premiers diverge, tout comme la suite de terme général <math>\ln(\ln n)</math> ; l'existence de cette constante indique que les deux expressions sont asymptotiquement liées :
- <math>\sum_{p\le n}\frac1p=\ln(\ln n)+M+o(1)</math> (où <math>o(1)</math> est une notation de Landau).
Propriétés
La constante de Meissel-Mertens est reliée à la constante d'Euler-Mascheroni <math>\gamma</math> (qui possède une définition similaire impliquant la différence entre la somme des inverses de tous les entiers de Modèle:Math à Modèle:Mvar et le logarithme népérien de Modèle:Mvar) par la formule suivante<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref>Modèle:HardyWrightFr, chapitre 22 (« La suite des nombres premiers (3) »), sections 22.7 et 22.8.</ref>:
- <math>M=\gamma+\sum_{p\text{ premier}}\left(\ln\left(1-\frac1p\right)+\frac1p\right)</math>.
Valeur approchée
La constante de Meissel-Mertens vaut approximativement 0,261497<ref>Un lien de la Modèle:OEIS fournit 105 décimales.</ref>.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
- Modèle:MathWorld
- Suite Modèle:OEIS2C de l'OEIS (développement en série de Engel de cette constante)
