Loi de Lambert
Modèle:Voir homonymes La loi de Lambert indique que, pour une source lumineuse orthotrope, l'exitance est proportionnelle à la luminance et le coefficient de proportionnalité est <math>\pi</math><ref>Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage</ref>. Autrement dit, si <math>M</math> désigne l'exitance et <math>L</math> la luminance, pour une source lumineuse orthotrope, on a :
Certains auteurs appellent loi de Lambert, ou loi en cosinus de Lambert<ref>Modèle:Ouvrage</ref>, la relation qui exprime l'intensité lumineuse <math>I</math> d'une source orthotrope en fonction de l'intensité lumineuse dans l'axe normal à la surface <math>I(0)</math> et de l'angle <math>\theta</math> par rapport à cette normale :
Démonstration
On utilise les coordonnées sphériques, angles de colatitude (ou zénithal) <math>\theta</math> et d'azimut (ou longitude) <math>\phi</math>.
L'exitance est définie comme l'intégrale de la luminance sur le demi-espace (2π stéradians) :
- <math>M=\int_{2\pi}L\cos\theta \,\mathrm d\Omega</math>,
avec
- <math>d\Omega=\frac{\mathrm d S}{r^2}=\sin \theta \,\mathrm d\theta \,\mathrm d\phi</math>.
<math>L</math> étant identique dans toutes les directions, on peut écrire :
- <math>M=L\int_0^{2\pi} \mathrm d\phi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm d\theta=2\pi L\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm d\theta</math>.
On effectue le changement de variable <math>\mu=\sin \theta</math> et on obtient
- <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm d\theta=\int_0^1\mu \,\mathrm d\mu=\frac{1}{2}</math>,
d'où l'on déduit la loi de Lambert.
