Méthode de Cardan
La méthode de Cardan, proposée par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en 1545, est une méthode permettant de résoudre les équations polynomiales du troisième degré. Cependant, Cardan se serait approprié la méthode en la volant délibérément à Niccolò Fontana dit Tartaglia (« Le Bègue »)<ref name="MacTutorEqu">Modèle:MacTutor</ref>.
Cette méthode permet d'obtenir des formules, appelées formules de Cardan, donnant en fonction de p et q les solutions de l'équation :
Elle permet de prouver que les équations de degré 3 sont résolubles par radicaux. Seules les équations de degré 1, 2, 3, 4 sont résolubles par radicaux dans tous les cas, c’est-à-dire que seules ces équations possèdent des méthodes générales de résolutions donnant les solutions en fonction des coefficients du polynôme en utilisant seulement les quatre opérations habituelles sur les nombres rationnels, et l'extraction des racines n-ièmes.
Formules de Cardan
Modèle:Théorème\right) }</math>
et Modèle:Math, d'où<ref>H. Weber « Formule de Cardan modifiée par Cayley », Nouvelles annales de mathématiques, Modèle:3e, tome 14 (1895), Modèle:P..</ref>
où Modèle:Math est le discriminant de l'équation et où <math>\mathrm j=\mathrm e^{2\mathrm i\pi/3}=\frac{-1+\mathrm i\sqrt{3}}{2}</math>.
- Si Modèle:Math, alors il y a trois solutions réelles distinctes.
- Si Modèle:Math, alors une solution est multiple et toutes sont réelles.
- Si Modèle:Math, alors une solution est réelle et les deux autres sont complexes conjuguées.
}}
Remarque 1 : en posant Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, on obtient
Si l'on part de l'équation générale <math>a x^3 + b x^2 + c x + d = 0</math>, Modèle:Math, on se ramène à la forme réduite en posant :
- <math>x=z-\frac b{3a},\qquad p=-\frac{b^2}{3a^2}+\frac ca\qquad\text{et}\qquad q=\frac b{27a}\left(\frac{2b^2}{a^2}-\frac{9c}a\right)+\frac da</math>.
La démonstration des formules est donnée ci-dessous dans le paragraphe « Principe de la méthode », mais détaillons d'abord leurs conséquences selon le signe de Modèle:Math.
Remarque 2 : une méthode plus simple, la substitution de Viète, aboutit aux mêmes formules que celle de Cardan.
Si Modèle:Math est négatif
L'équation possède alors une solution réelle et deux complexes. On pose
- <math> u = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\frac{-\Delta}{27}}}2}\quad\mbox{et}\quad v = \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{\frac{-\Delta}{27}}}2},\qquad\mbox{soit encore}\qquad u=\sqrt[3]{-q'+\sqrt{-\Delta'}}\quad\mbox{et}\quad v=\sqrt[3]{-q'-\sqrt{-\Delta'}}</math>.
La seule solution réelle est alors Modèle:Math. Il existe également deux solutions complexes conjuguées l'une de l'autre :
- <math> \begin{cases}z_1=\mathrm j u +\overline{\mathrm j}v \\ z_2= \mathrm j^2u +\overline{\mathrm j^2}v \end{cases}\qquad\mathrm{o\grave u}\qquad\mathrm j=-\frac12+\mathrm i \frac{\sqrt3}2=\mathrm e^{\mathrm i\frac{2\pi}3}\qquad\text{et}\qquad\mathrm j^2=-\frac12-\mathrm i\frac{\sqrt3}2=\mathrm e^{\mathrm i\frac{4\pi}3}</math>.
Si Modèle:Math est nul
Si Modèle:Math, l'équation possède 0 comme solution triple.
Dans le cas contraire, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont tous deux non nuls. L'équation possède alors deux solutions réelles, une simple et une double :
- <math>\begin{cases}z_0=2\sqrt[3]{\frac{-q}2}=\frac{3q}p\\z_1=z_2=-\sqrt[3]{\frac{-q}2}=\frac{-3q}{2p}\end{cases}</math>
Si Modèle:Math est positif
L'équation possède alors trois solutions réelles. Toutefois, il est nécessaire de faire une incursion dans les complexes pour toutes les trouver (voir le § « Remarque historique »). Les solutions sont les sommes de deux complexes conjugués Modèle:Math et <math>\overline{\mathrm j^ku}</math> où <math>u=\sqrt[3]{\frac{-q +\mathrm i\sqrt{\frac{\Delta}{27}}}2}</math> et <math>k\in\{0,1,2\}</math>, soit l'ensemble suivant :
- <math> \begin{cases}z_0 = u +\overline u\\ z_1 =\mathrm j u +\overline{\mathrm ju} \\ z_2= \mathrm j^2u +\overline{\mathrm j^2u} \end{cases}</math>
La forme réelle des solutions est obtenue en écrivant Modèle:Math sous la forme trigonométrique, ce qui donne<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :
- <math>z_k = 2 \sqrt{\frac{-p}3} \cos{\left(\frac13\arccos{\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac3{-p}}\right)}+ \frac{2k\pi}3\right)}\qquad\mbox{ avec }\qquad k\in\{0,1,2\}</math>.
Principe de la méthode
Considérons l'équation générale du troisième degré suivante : Modèle:Math.
En posant
- <math>x=z-\frac b{3a}</math>,
on se ramène à une équation de la forme<ref>Pour plus de détails, suivre le lien en bas de page vers la leçon sur Wikiversité.</ref>
- <math>z^3 + p z + q = 0</math>.
On va maintenant poser Modèle:Math avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar complexes, de façon à avoir deux inconnues au lieu d'une et se donner ainsi la possibilité de poser ultérieurement une condition sur Modèle:Mvar et Modèle:Mvar permettant de simplifier le problème. L'équation Modèle:Math devient ainsi
- <math> (u+v)^3 + p (u+v) + q = 0</math>.
Cette équation se transforme sous la forme suivante :
- <math> u^3+v^3+3uv^2+3vu^2+p (u+v)+q=0</math>
- <math> u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0</math>.
La condition de simplification annoncée sera alors Modèle:Math. Ce qui nous donne d'une part Modèle:Math et d'autre part Modèle:Math, qui, en élevant les deux membres à la puissance 3 donne Modèle:Math.
Nous obtenons finalement le système somme-produit des deux inconnues Modèle:Math et Modèle:Math suivant :
- <math> \begin{cases}u^3+v^3&=-q\\ u^3v^3&=-\frac{p^3}{27}.\end{cases}</math>
Les inconnues Modèle:Math et Modèle:Math étant deux complexes dont on connaît la somme et le produit, ils sont donc les solutions de l'équation du second degré :
- <math> X^2+qX-\frac{p^3}{27}=0</math>.
Le discriminant de cette équation du second degré est <math>\delta = q^2 - 4 \times 1 \times \frac{-p^3}{27} = q^2 + \frac{4}{27}p^3</math> et les racines sont
- <math> \begin{cases} u^3 = \frac{-q + \sqrt{\delta}}2\text{ et } v^3 = \frac{-q - \sqrt{\delta}}2& \text{ si }\delta\text{ est positif} \\ u^3 = \frac{-q +\mathrm i\sqrt{-\delta}}2\text{ et } v^3 = \frac{-q -\mathrm i\sqrt{-\delta}}2& \text{ si } \delta\text{ est négatif} \\ u^3 = v^3 =\frac{-q}2& \text{ si }\delta\text{ est nul.} \end{cases}</math>
On notera que le discriminant Modèle:Math de l'équation du troisième degré Modèle:Math est lié au discriminant Modèle:Math ci-dessus par la relation Modèle:Math.
Il suffit alors d'associer les trois racines cubiques de Modèle:Math et Modèle:Math deux par deux de façon à obtenir trois couples Modèle:Math tels que Modèle:Math, puis de reporter les trois couples de valeurs trouvés pour Modèle:Mvar et Modèle:Mvar dans l'expression Modèle:Math. On obtient dans tous les cas en fonction du discriminant Modèle:Math la solution figurant dans l'encadré ci-dessus.
Enfin, on revient au premier changement de variable Modèle:Math pour avoir les trois racines de l'équation du troisième degré posée au départ. On peut noter que ce type de méthode met en évidence qu'il est parfois nécessaire de travailler dans un corps de nombres plus vaste que celui contenant les variables du problème pour trouver la solution : ici malgré le fait que les entrées (les coefficients) sont réelles, il faut passer par les complexes pour trouver toutes les solutions réelles. Cependant, comme on l'a vu plus haut, il est également possible de rester dans les réels, en acceptant d'utiliser les fonctions trigonométriques (ce qui était déjà connu des algébristes italiens) ; l'explication de l'efficacité de cette deuxième méthode ne sera donnée que par Euler.
Exemples
De nombreux exemples sont disponibles dans les manuels et sur le web. Modèle:Voir autre projet
Généralisation à un corps quelconque
Remarque historique
Modèle:Article détaillé La méthode fut découverte en premier lieu en 1515 par le mathématicien italien Scipione del Ferro, et gardée secrète par celui-ci<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>. Le mathématicien italien Tartaglia en avait connaissance vers 1535<ref>On ne sait pas clairement si la découverte de del Ferro est parvenue, par un cheminement complexe, jusqu'à Tartaglia, ou si celui-ci a réinventé la méthode.</ref>. À cette époque, les mathématiciens se lançaient des défis pour résoudre des équations du troisième degré et Tartaglia les résolvait toutes. Intrigué, Cardan lui demanda s'il avait trouvé une méthode. Après s'être fait prier et avoir reçu l'assurance que Cardan ne la dévoilerait à personne, Tartaglia la lui confia<ref name="MacTutorEqu"/>. Cardan la publia en 1545, en la généralisant à des cas où il était nécessaire d'introduire des racines carrées de nombres négatifs. Il est donc le premier à avoir utilisé des nombres complexes, non sans appréhension<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
On appelle désormais souvent ces formules les formules de Tartaglia-Cardan.
L'utilisation des formules de Cardan nécessite parfois l'utilisation de nombres complexes, même pour trouver des solutions réelles. En fait, les nombres imaginaires sont précisément nés à cette occasion.
Dans l'exemple Modèle:Math ou bien Modèle:Math, on a Modèle:Mvar = –15 et Modèle:Mvar = –4, donc : Modèle:Math et Modèle:Math donc Modèle:Math et Modèle:Math sont racines de l'équation Modèle:Math, dont les racines n'« existent » pas. Pourtant, il y a bien une solution Modèle:Mvar à l'équation initiale : c'est Modèle:Math. C'est Raphaël Bombelli qui surmontera cette difficulté en proposant pour la première fois un calcul sur les nombres imaginaires. La résolution formelle de l'équation Modèle:Math donne pour racines <math>u^3 = 2 + \sqrt{-121} = 2 + 11\sqrt{-1}</math> et <math>v^3 = 2 - \sqrt{-121} = 2 - 11\sqrt{-1}</math>, or Bombelli s'aperçoit que le cube de <math>2 + \sqrt{-1}</math> vaut <math>2 + \sqrt{-121}</math> et que le cube de <math>2 - \sqrt{-1}</math> vaut <math>2 - \sqrt{-121}</math>. Il en déduit que <math>u = 2 + \sqrt{-1}</math> et que <math>v = 2 - \sqrt{-1}</math> et il trouve bien finalement comme solution Modèle:Math.
Les nombres imaginaires sont nés.
Une méthode a été développée par Ludovico Ferrari (en 1545)<Ref>Modèle:Bourbaki, « Polynômes et corps commutatifs ».</Ref>, puis généralisée par Bombelli (en 1572)<Ref>Jean Itard, « Équations algébriques », Encyclopædia Universalis.</Ref> pour la résolution par radicaux de l'équation générale du quatrième degré (équation quartique). Comme on le sait, la résolution par radicaux n'est plus possible pour l'équation générale de degré supérieur ou égal à 5 (théorème d'Abel-Ruffini).
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
- Une nouvelle méthode de résolution des équations du Modèle:3e, récompensée par une mention spéciale (à ne pas confondre avec le prix lui-même) lors du Prix Fermat junior 1995
- Résolution des équations algébriques de degré 3 et 4 sur le site du bicentenaire de la naissance d'Évariste Galois.
- Modèle:EncycloMath
- Conférence de Xavier Buff à Math Park, Xavier Buff fait une conférence à l'institut Henri Poincaré pour les lycéens dans le cadre de math park en Modèle:Date- où il explique la méthode de Cardan appliquée à x3-3x+1=0 et étudie une fractale.
