Orbitographie
En astronautique, l'orbitographie désigne la détermination des éléments orbitaux d'un satellite artificiel.
Deux problèmes célèbres d'orbitographie sont :
- le problème de Gauss qui consiste à déterminer l'orbite, puis le mouvement d'un corps, connaissant 3 positions successives, <math>P_1</math>, <math>P_2</math> et <math>P_3</math>. C'est en retrouvant Cérès en 1801, à partir de données parcellaires recueillies en Modèle:Date-, que Gauss se fait connaître. Ce problème a donc été baptisé en son honneur.
- le problème de Lambert qui consiste à déterminer le mouvement d'un corps connaissant deux ensembles successifs de positions et dates, {<math>P_1</math>,<math>t_1</math>} et {<math>P_2</math>,<math>t_2</math>}.
Problème de Gauss
Il peut aujourd'hui être traité avec les vecteurs, inventés par Gibbs vers 1890.
En désignant par <math>O</math> le point d'où sont faites les observations, les 3 vecteurs <math>\overrightarrow{O P_1}</math>, <math>\overrightarrow{O P_2}</math> et <math>\overrightarrow{O P_3}</math> définissent le plan de la trajectoire. Leur surabondance permet d'affiner cette définition par la méthode des moindres carrés. On peut alors définir le vecteur unitaire perpendiculaire à ce plan, <math>\vec{k}</math> . Soit à trouver la direction du périgée, vecteur unitaire <math>\vec{i}</math> ; la direction orthogonale <math>\vec{j}</math> = <math>\vec{k} \times \vec{i}</math> complète le trièdre.
Théorème 1 de Gibbs
Le vecteur de Gauss-Gibbs, <math>\vec{G}</math>, défini par trois vecteurs de position, <math>\vec{r_1}, \vec{r_2}, \vec{r_3}</math>, pointe vers la direction <math>\vec{j}</math> (semi-petit axe) et peut donc s'écrire <math>\|\vec{G}\| \, \vec{j}</math>.
- <math>\begin{align}
\vec{G} &= \overrightarrow{O P_1} (r_2-r_3) + \overrightarrow{O P_2} (r_3-r_1) + \overrightarrow{O P_3} (r_1-r_2) \\
&= \overrightarrow{r_1} (r_2-r_3) + \overrightarrow{r_2} (r_3-r_1) + \overrightarrow{r_3} (r_1-r_2) \\
&= \|\vec{G}\| \, \vec{j} \\
\end{align}
</math>.
Soient la demi-ellipse et sur elle, <math>P_0</math> le périgée, <math>H</math> le point de l'ellipse tel que <math>\overrightarrow{O H} \parallel \vec{j}</math>, <math>B</math> le point du petit axe, et <math>A</math> l'apogée : on peut pour vérification, calculer les 4 vecteurs de Gibbs correspondants à 3 parmi 4 de ces positions. Cela permet d'acquérir de "l'intuition".
Le théorème de Gibbs permet donc d'accéder à l'angle <math>\theta_1</math> =(<math>\overrightarrow{O P_0}</math>,<math>\overrightarrow{O P_1}</math>), ainsi que les deux autres. Soient 3 équations type <math>p = r_1 + e \cdot r_1 \cdot \cos(\theta_1)</math> , qui permettent, par moindres carrés de trouver <math>p</math> et <math>e</math> ; ce qui achève la détermination de l'orbite. Il faut évidemment au moins une date pour finir le problème du mouvement.
Remarque : l'intuition de Gauss était que:
- <math>e = \frac{\|G\|}{2 \cdot AireTriangle(P1P2P3)} = \frac{\|G\|}{\left\|\overrightarrow{P_1 P_2} \times \overrightarrow{P_1 P_3}\right\|}</math>.
Le théorème 2 de Gibbs permet de confirmer cette solution.
Seul le cas de 3 points se succédant sur une demi-ellipse est traité ; si le décalage temporel dépasse la demi-période, il convient de prendre en compte la disposition des points.
Démonstration
On appelle vecteur excentricité le vecteur <math>\vec{e} = \frac{\vec{C O}}{a}</math>, <math>C</math> étant le centre de l'ellipse. Ce vecteur est donc <math>\vec{e} = e \vec{i}</math>.
On rappelle que c'est un invariant (SO4) du problème de Kepler :
- <math>\vec{e} = \frac{\vec{v} \times \vec{L_0}}{G M m} - \frac{\vec{r}}{r} = \frac{\vec{v} \times \vec{h}}{\mu} - \frac{\vec{r}}{r}</math>,
- (<math>L_0</math> étant le moment cinétique. <math>\vec{h}=\frac{\vec{L_0}}{m}, \mu = GM</math>.)
et en particulier, comme vu plus haut : <math>p-r = \vec{e} \cdot \vec{r}</math>.
Calculer <math>\vec{G} \cdot \vec{e}</math> : il vient <math>(p-r_1)(r_2-r_3) + (p-r_2)(r_3-r_1) + (p-r_3)(r_1-r_2) = 0</math>. Donc, <math>\vec{G}</math> et <math>\vec{j}</math> sont dans la même direction (demi-petit axe), an peut donc s'écrire : <math>\vec{G} = \|\vec{G}\| \,\vec{j}</math>.
Théorème 2 de Gibbs
Soit le vecteur d'aire défini par les trois vecteurs de position :
- <math>\vec{A}</math> = <math>\vec{r_1} \times \vec{r_2} + \vec{r_2} \times \vec{r_3} + \vec{r_3} \times \vec{r_1} = \|\vec{A}\| \, \vec{k}</math> ;
alors
- <math>\begin{align}
\vec{A} \times \vec{e} = \vec{G} \end{align}</math>
- e = <math>\frac{\|\vec{G}\|}{\|\vec{A}\|}</math>.
Démonstration
Puisque les produits croisés avec <math>\vec{e}</math>, en considérant que <math>\vec{e}\cdot\vec{r}=p-r</math>, nous avons:
- <math>\begin{align}
(\vec{r_1} \times \vec{r_2}) \times \vec{e} &= p (\vec{r_2} - \vec{r_1}) + r_2 \vec{r_1} - r_1 \vec{r_2} \\ (\vec{r_2} \times \vec{r_3}) \times \vec{e} &= p (\vec{r_3} - \vec{r_2}) + r_3 \vec{r_2} - r_2 \vec{r_3} \\ (\vec{r_3} \times \vec{r_1}) \times \vec{e} &= p (\vec{r_1} - \vec{r_3}) + r_1 \vec{r_3} - r_3 \vec{r_1} \\ \end{align}</math>.
Par conséquent,
- <math>\begin{align}
\vec{A} \times \vec{e} &= (r_2 - r_3) \vec{r_1} + (r_3 - r_1) \vec{r_2} + (r_1 - r_2) \vec{r_3} \\
&= \vec{G}
\end{align}</math> Les vecteurs <math>\vec{r_1} \times \vec{r_2}, \vec{r_2} \times \vec{r_3}, \vec{r_3} \times \vec{r_1}</math> et leur somme <math>\vec{A}</math> sont perpendiculaires au plan orbital. Donc
- <math>\vec{A} \times \vec{e} = \|\vec{A}\| \|\vec{e}\| \sin(90^\circ)\, \vec{j} = \|\vec{A}\| \, \, e \, \vec{j}</math>
- <math>e = \frac{\| \vec{A} \times \vec{e} \|}{\|\vec{A}\|} = \frac{\| G \|}{\|\vec{A}\|}</math>
Théorème 3 de Gibbs
Soit enfin le vecteur-volume des aires pondérées :
- <math>\vec{V} = (\vec{r_1} \times \vec{r_2}) \cdot r_3 + (\vec{r_2} \times \vec{r_3}) \cdot r_1 + (\vec{r_3} \times \vec{r_1}) \cdot r_2 = \|\vec{V}\| \, \vec{k}</math>.
Ensuite, le semi-latus rectum, <math>p</math>, de l'orbite peut être dérivé des vecteurs <math>\vec{V}</math> et <math>\vec{A}</math> définis précédemment,
- <math>p = \frac{\vec{V}}{\vec{A}} = \frac{\|\vec{V}\|}{\|\vec{A}\|}</math>.
De plus, le moment cinétique spécifique, <math>h</math>, du corps en orbite sera lié aux deux vecteurs par :
- <math>
h = \sqrt{\frac{\mu \|\vec{V}\|}{\|\vec{A}\|}} </math>.
Démonstration
Les 3 vecteurs de position sont coplanaires. Ils peuvent donc s'écrire :
- <math>\begin{align}
\vec{r_1} \times \vec{r_2} &= a_{12}\, \vec{k} \Rightarrow a_{12} = \vec{r_1} \times \vec{r_2} \cdot \vec{k} \\ \vec{r_2} \times \vec{r_3} &= a_{23}\, \vec{k} \Rightarrow a_{23} = \vec{r_2} \times \vec{r_3} \cdot \vec{k} \\ \vec{r_3} \times \vec{r_1} &= a_{31}\, \vec{k} \Rightarrow a_{31} = \vec{r_3} \times \vec{r_1} \cdot \vec{k} \\ \end{align}</math>
où <math>\vec{k}</math> est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan orbital
- <math>
\vec{k} = \frac{\vec{r_1} \times \vec{r_2}}{\|\vec{r_1} \times \vec{r_2}\|}
= \frac{\vec{r_2} \times \vec{r_3}}{\|\vec{r_2} \times \vec{r_3}\|}
= \frac{\vec{r_3} \times \vec{r_1}}{\|\vec{r_3} \times \vec{r_1}\|}
</math>. On suppose en outre qu'il a la même direction que le vecteur moment cinétique.
Les trois vecteurs étant indépendants, il existe des coefficients <math>(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)</math> tels que leur combinaison linéaire soit un vecteur nul.
- <math>\lambda_1\, \vec{r_1} + \lambda_2\, \vec{r_2} + \lambda_3\, \vec{r_3} = \vec{0}</math>.
En prenant le produit scalaire de cette équation avec <math>\vec{e}</math>, et en considérant <math>\vec{e}\cdot\vec{r}=p-r</math>, nous avons:
- <math>p \,\, (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) = \lambda_1\, r_1 + \lambda_2\, r_2 + \lambda_3\, r_3</math>, et
- <math>p =\frac{\lambda_1\, r_1 + \lambda_2\, r_2 + \lambda_3\, r_3}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}</math>.
Si les produits croisés de l'équation ci-dessus avec <math>\vec{r_1}, \vec{r_2}, \vec{r_3}</math> sont pris, respectivement. Nous avons:
- <math>\lambda_1\, \vec{r_1} \times \vec{r_1} + \lambda_2\, \vec{r_2} \times \vec{r_1} + \lambda_3\, \vec{r_3} \times \vec{r_1} = \vec{0}</math>
- <math>\lambda_1\, \vec{r_1} \times \vec{r_2} + \lambda_2\, \vec{r_2} \times \vec{r_2} + \lambda_3\, \vec{r_3} \times \vec{r_2} = \vec{0}</math>
- <math>\lambda_1\, \vec{r_1} \times \vec{r_3} + \lambda_2\, \vec{r_2} \times \vec{r_3} + \lambda_3\, \vec{r_3} \times \vec{r_3} = \vec{0}</math>,
et
- <math>\begin{align}
-\lambda_2\, a_{12} + \lambda_3\, a_{31} &= 0 \\ +\lambda_1\, a_{12} - \lambda_3\, a_{23} &= 0 \\ -\lambda_1\, a_{31} + \lambda_2\, a_{23} &= 0 \end{align}</math>. Ainsi, (avec une constante arbitraire k)
- <math>\begin{align}
\lambda_1\ = k \cdot a_{23} = k \cdot \vec{r_2} \times \vec{r_3} \cdot \vec{u_3}\\ \lambda_2\ = k \cdot a_{31} = k \cdot \vec{r_3} \times \vec{r_1} \cdot \vec{u_3}\\ \lambda_3\ = k \cdot a_{12} = k \cdot \vec{r_1} \times \vec{r_2} \cdot \vec{u_3} \end{align}</math>.
Par conséquent,
- <math>\begin{align}
p &=\frac{\lambda_1\, r_1 + \lambda_2\, r_2 + \lambda_3\, r_3}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3} \\ &=\frac{(\vec{r_2} \times \vec{r_3})\, r_1 + (\vec{r_3} \times \vec{r_1})\, r_2 + (\vec{r_1} \times \vec{r_2})\, r_3}{(\vec{r_2} \times \vec{r_3}) + (\vec{r_3} \times \vec{r_1}) + (\vec{r_1} \times \vec{r_2})} \\ &= \frac{\vec{V}}{\vec{A}} = \frac{\vec{\|V\|}}{\vec{\|A\|}} \end{align}</math>
De plus, à partir des lois du mouvement de Newton et de l'équation de la trajectoire orbitale, on sait que :
- <math>
p = \frac{h^2}{\mu} </math>
Par conséquent, grâce au pontage de <math>p</math>, la relation entre <math>h</math> et [<math>\vec{A}, \vec{V}</math>] peut être facilement dérivée:
- <math>\begin{align}
p &= \frac{\vec{V}}{\vec{A}} = \frac{\|\vec{V}\|}{\|\vec{A}\|} = \frac{h^2}{\mu} \\ \Rightarrow h & = \sqrt{\frac{\mu \|\vec{V}\|}{\|\vec{A}\|}} \end{align}</math>
Et on voit que les vecteurs auxiliaires, [<math>\vec{A}, \vec{V}</math>], définis par les trois vecteurs de position observés, relient magiquement la propriété géométrique de l'orbite, <math>p</math>, au paramètre dynamique du mouvement, <math>h</math>.
Détermination du Vecteur Vitesse
On peut ensuite calculer le vecteur vitesse en chacun des 3 points via le vecteur-excentricité. L'astuce consiste à prendre le produit croisé de <math>\vec{k}</math> et <math>\vec{k}</math>, de sorte que l'expression du vecteur vitesse <math>\vec{v}</math> puisse être révélée. Les étapes pour calculer le vecteur vitesse sont listées comme suit:
- <math>\begin{align}
\vec{e} &= \frac{\vec{v} \times \vec{h}}{\mu} - \frac{\vec{r}}{r} \\ \vec{k} \times \vec{e} &= \frac{\vec{k} \times (\vec{v} \times \vec{h})}{\mu} - \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} \\
&= \frac{(\vec{k} \cdot \vec{h}) \vec{v} - (\vec{k} \cdot \vec{v}) \vec{h}}{\mu} - \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} \\
\vec{k} \times e\vec{i} &= \frac{(\vec{k} \cdot h\vec{k}) \vec{v}}{\mu} - \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ e \vec{j} &= \frac{h \vec{v}}{\mu} - \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ \end{align}</math>.
En conséquence, nous avons l'équation suivante pour le vecteur de vitesse, en termes de paramètre gravitationnel et de vecteur de position:
- <math>\vec{v} = \frac{\mu}{h} ( e \vec{j} + \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} )</math>
(<math>\mu</math> est le paramètre gravitationnel standard).
Selon les théorèmes précédents, nous avons,
- <math>e = \frac{\|\vec{G}\|}{\|\vec{A}\|}</math>,
et
- <math>
h = \sqrt{\frac{\mu \|\vec{V}\|}{\|\vec{A}\|}} </math> Par conséquent,
- <math>\begin{align}
\vec{v} &= \sqrt{ \frac{\mu \|\vec{A}\|}{\|\vec{V}\|} } ( \frac{\|\vec{G}\|}{\|\vec{A}\|} \vec{j} + \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} ) \\
&= \sqrt{ \frac{\mu \|\vec{A}\|}{\|\vec{V}\|} } ( \frac{ \vec{G}}{\|\vec{A}\|} + \frac{\vec{A}}{\|\vec{A}\|} \times \frac{\vec{r}}{r} ) \\
&= \sqrt{\frac{\mu}{\|\vec{V}\|\,\|\vec{A}\|}} \,\, (\vec{G}+ \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r}) \\
\end{align}</math>.
Vecteur Vitesse à partir de Trois Vecteurs Position
En résumé, le vecteur vitesse <math>\vec{v}</math> peut être exprimé en fonction des vecteurs <math>\vec{G}, \vec{A}, \vec{V}</math>, définis par les trois vecteurs position observés, comme suit:
- <math>\vec{v} = \sqrt{\frac{\mu}{\|\vec{V}\|\,\|\vec{A}\|}} \,\, (\vec{G}+\frac{\vec{A}\times\vec{r}}{r})</math>.
Une preuve alternative pour ce formulaire est décrite ici. L'astuce consiste à utiliser la relation <math>\vec{G} = \vec{A} \times \vec{e}</math> et la relation entre <math>\vec{e}</math> et <math>[\vec{v}, \vec{r}]</math> pour trouver la relation fonctionnelle entre <math>[\vec{v}, \vec{r}]</math> et <math>[\vec{G}, \vec{A}, \vec{V}]</math>.
- <math>\begin{align}
\vec{e} &= \frac{\vec{v} \times \vec{h}}{\mu} - \frac{\vec{r}}{r} \\ \vec{A} \times \vec{e} &= \frac{\vec{A} \times (\vec{v} \times \vec{h})}{\mu} - \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} \\
&= \frac{(\vec{A} \cdot \vec{h}) \vec{v} - (\vec{A} \cdot \vec{v}) \vec{h}}{\mu} - \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} \\
\vec{G} &= \frac{(\vec{A} \cdot h\vec{k}) \vec{v}}{\mu} - \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ \vec{v} &= \frac{\mu}{(\vec{A} \cdot h\vec{k})} ( \vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} )\\ \end{align}</math>.
Par conséquent, le vecteur vitesse peut également être exprimé par:
- <math>\begin{align}
\vec{v} &= \frac{\mu}{\|\vec{A}\| \cdot h} ( \vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} )\\ \end{align}</math>.
Le théorème précédent montre que <math>h</math> et <math>[\vec{V}, \vec{A}]</math> sont liés par:
- <math>
h = \sqrt{\frac{\mu \|\vec{V}\|}{\|\vec{A}\|}} </math>
Enfin, à travers les trois vecteurs auxiliaires <math>\vec{G}, \vec{A}, \vec{V}</math>, définis par les trois vecteurs position, le vecteur vitesse peut s'exprimer en fonction des vecteurs position:
- <math>\begin{align}
\vec{v} &= \frac{\mu}{\|\vec{A}\| \cdot h} ( \vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} )\\
&= \frac{\mu}{\|\vec{A}\|} \sqrt{\frac{\|\vec{A}\|}{\mu \|\vec{V}\|}} ( \vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} )\\
\vec{v} &= \sqrt{\frac{\mu}{\|\vec{A}\| \|V\|}} ( \vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} ).\\ \end{align}</math>
Problème de Lambert
Travail en 1760 : déterminer le mouvement connaissant deux évènements.
Plummer (An introductory treatise on dynamical astronomy , 1960, ed Dover) donne la solution analytique de ce problème. Pollard (Celestial Mechanics, 1966, ed Prentice-Hall) y fait référence. Guiziou ([1]) propose l'élégante solution suivante : se ramener au problème de Gauss.
Plus précisément, soit <math>P_1</math> et <math>P_3</math> les 2 points. On définit le point <math>P_2</math> par : <math>\overrightarrow{O P_2} = k (\overrightarrow{O P_1} + \overrightarrow{O P_3})</math>, avec <math>k</math> pour le moment indéterminé. On est ainsi ramené au problème de Gauss-Gibbs. Il n'y a qu'un seul <math>k</math> qui donne une durée <math>t_3 - t_1</math> pour décrire l'arc d'ellipse de <math>P_1</math> en <math>P_3</math> : on résout numériquement l'équation <math>t_3 - t_1 = f(k)</math> ce qui donne <math>k</math> et achève le problème.
Référence
Droit français : arrêté du Modèle:Date- relatif à la terminologie des sciences et techniques spatiales.
