Logarithme intégral

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Logarithme intégral.

En mathématiques, le logarithme intégral Modèle:Math est une fonction spéciale définie en tout nombre réel strictement positif Modèle:Math par l'intégrale :

<math> {\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)}.</math>

où Modèle:Math désigne le logarithme népérien.

La fonction <math>t\mapsto 1/\ln (t)</math> n'est pas définie en Modèle:Math, et l'intégrale pour Modèle:Math doit être interprétée comme la valeur principale de Cauchy : Modèle:Retrait

Équivalent à l'infini

Quand Modèle:Math tend vers Modèle:Math, on a l'équivalence Modèle:Retrait c'est-à-dire que Modèle:Retrait

D'après le théorème des nombres premiers, la fonction de compte des nombres premiers Modèle:Math est équivalente à Modèle:Math, donc à Modèle:Math, qui en fournit par ailleurs une meilleure approximation.

Propriétés

La fonction Modèle:Math est liée à l'exponentielle intégrale Modèle:Math par la relation Modèle:Math pour tout nombre réel strictement positif Modèle:Math. Ceci mène aux développements en séries de Modèle:Math, comme : Modèle:Retrait où Modèle:Math est la constante d'Euler-Mascheroni.

On en déduit le développement au voisinage de 1 du logarithme intégral : <math>\rm li (1+u)={\rm Ei}(\ln(1+u))=\ln|u|+\gamma +\frac12u+o(u)</math>.

La fonction Modèle:Math a une seule racine, elle se trouve en Modèle:Math ; ce nombre est connu comme étant la constante de Ramanujan-Soldner.

Fonction d'écart logarithmique intégrale

La fonction d'écart logarithmique intégrale est une fonction spéciale Modèle:Math très similaire à la fonction logarithme intégral, définie de la façon suivante :

<math> \mathrm{Li}(x) = \mathrm{li}(x) - \mathrm{li}(2)=\int_{2}^{x} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)}</math>

Une valeur approchée de Modèle:Math est 1,045 163 8<ref>Johann Georg von Soldner, Théorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante, 1809, p. 48.</ref><ref>Pour plus de décimales, voir par exemple Modèle:Lien web ou la Modèle:OEIS.</ref>, alors que Modèle:Math = 0.

On peut montrer à l'aide d'intégrations par parties successives que, pour tout entier Modèle:Math, on a le développement asymptotique suivant à l'infini de Modèle:Math (donc aussi de Modèle:Math) : Modèle:Retrait\right).</math> }}

Pour n = 0, on retrouve l'équivalent ci-dessus.

Signification en théorie des nombres

Comme dit dans la section « Équivalent », le théorème des nombres premiers établit que:

<math>\pi(x)\sim\operatorname{li}(x)</math>

où <math>\pi(x)</math> exprime la quantité de nombres premiers inférieurs à <math>x</math>.

Avec l'hypothèse de Riemann, l'estimation suivante plus forte est possible<ref>Abramowitz and Stegun, p. 230, 5.1.20</ref> :

<math>\operatorname{li}(x)-\pi(x) = O(\sqrt{x}\log x)</math>

Pour des petits <math>x</math>, <math>\operatorname{li}(x)>\pi(x)</math>, mais on sait, indépendamment de l'hypothèse de Riemann, que cette différence change de signe un nombre infini de fois quand <math>x</math> augmente. La première occurrence devrait survenir<ref>Il est démontré que des changements de signes se produisent avant cette valeur ; aucune démonstration rigoureuse de ce qu'il ne s'en produit pas avant 10³¹⁶ (ni même avant 10²⁰) n'existe, mais on a des estimations heuristiques montrant que cela est très peu probable (Modèle:Article</math>|année=2011|journal=Mathematics of Computation|volume=80|numéro=276|pages=2381–2394|mr=2813366|doi=10.1090/S0025-5718-2011-02477-4|accès doi=libre}}).</ref> au voisinage de 1.4×10³¹⁶.

Voir aussi

Articles connexes

• Cosinus intégral
• Sinus intégral
• Intégrale non élémentaire
• Constante de Ramanujan-Soldner
• Théorème des nombres premiers
• Nombre de Skewes

Bibliographie

Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun).