Nombre hexagonal centré
En mathématiques, un nombre hexagonal centré est un nombre figuré polygonal centré qui peut être représenté par un hexagone régulier ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés en couches hexagonales concentriques de Modèle:Math points, Modèle:Math points, Modèle:Math points, etc.
Les quatre plus petits nombres hexagonaux centrés sont : Modèle:Retrait
Gnomon, relation de récurrence
Pour tout entier Modèle:Math, le Modèle:Mvar-ième hexagone centré a un point central et Modèle:Math couches hexagonales régulières. Ainsi, il comporte Modèle:Mvar points sur chaque rayon et sur chaque côté.
Pour tout entier Modèle:Math, la dernière couche du Modèle:Mvar-ième hexagone centré comporte Modèle:Math points ; c'est le gnomon associé au Modèle:Math-ième hexagone centré, et faisant passer au Modèle:Mvar-ième :
- <math>\forall \ n \ge 2, \ C_{6,n} = C_{6,n-1} + 6(n-1).</math>
Le Modèle:Mvar-ième nombre hexagonal centré s'obtient donc en ajoutant Modèle:Math au produit par Modèle:Math du Modèle:Math-ième nombre triangulaire :
- <math>C_{6,n} = 1+6T_{n-1} = 1+3n(n-1) = 3n^2-3n+1.</math>
Pour Modèle:Math, cette expression est valable aussi :
Exemple
Le 5-ième nombre hexagonal centré est Modèle:Math plus Modèle:Math fois le 4-ième nombre triangulaire : Modèle:Retrait
Applications pratiques
Les nombres hexagonaux centrés ont des applications pratiques dans les domaines de la gestion de production et de la logistique, par exemple l'empaquetage de certains produits dans de plus grands récipients circulaires, comme les saucisses de Francfort dans des conteneurs cylindriques.
Liste de nombres hexagonaux centrés, propriété de congruence
Les nombres hexagonaux centrés inférieurs à Modèle:Math sont :
- Modèle:Math (voir la Modèle:OEIS).
Le chiffre des unités en base dix de cette suite d'entiers suit<ref name=":1" /> le motif palindromique Modèle:Math ; les nombres hexagonaux centrés sont donc tous impairs.
Liens avec d'autres nombres figurés
Pour trouver les nombres hexagonaux centrés qui sont aussi des nombres triangulaires ou des nombres carrés, ou tout cela à la fois, il suffit de résoudre les équations de Pell-Fermat associées.
Nombre hexagonal centré triangulaire
- <math>C_{6,n} = T_m \Longleftrightarrow (2m+1)^2-6(2n-1)^2 = 3.</math>
Les trois plus petits nombres à la fois hexagonaux centrés et triangulaires sont donc :
- Modèle:Math (pour les suivants, voir la suite Modèle:OEIS2C).
Nombre hexagonal centré carré
- <math>C_{6,n} = m^2 \Longleftrightarrow (2m)^2-3(2n-1)^2 = 1.</math>
Les trois plus petits nombres à la fois hexagonaux centrés et carrés sont donc :
- Modèle:Math (pour les suivants, voir la suite Modèle:OEIS2C).
Liens avec à la fois les nombres triangulaires et les nombres carrés
- Modèle:Math est le seul<ref name=":0" /> nombre à la fois hexagonal centré et carré triangulaire.
- Pour tout entier Modèle:Math, la différence entre le Modèle:Mvar-ième nombre carré impair et le Modèle:Mvar-ième nombre hexagonal centré est le Modèle:Math-ième nombre oblong :
- Modèle:Retrait
- Autrement dit, le Modèle:Mvar-ième nombre carré impair est la somme du Modèle:Mvar-ième nombre hexagonal centré et du double du Modèle:Math-ième nombre triangulaire :
- Modèle:Retrait
- Cette relation peut faire l'objet d'une preuve sans mot : placer les deux triangles (ayant Modèle:Math points sur chaque côté) contre deux côtés opposés (ayant Modèle:Mvar points chacun) de l'hexagone forme deux pointes opposées et le corps d'un losange (ayant Modèle:Math points sur chaque côté).
Somme partielle de nombres hexagonaux centrés : nombre cubique
- Pour tout entier Modèle:Math,
- <math>C_{6,n} = 3n^2-3n+1 = { \color{dimgray} n^3-(n^3-3n^2+3n-1) } = n^3-(n-1)^3.</math>
- Ainsi<ref name=":0">Modèle:MathWorld</ref>, pour Modèle:Math, le Modèle:Mvar-ième nombre hexagonal centré est le gnomon faisant passer du Modèle:Math-ième au Modèle:Mvar-ième nombre cubique (Modèle:Cad le nombre de cubes de côté Modèle:Math visibles depuis un sommet d'un cube de côté Modèle:Mvar composé de cubes de côté Modèle:Math)<ref>Voir figure sur : Modèle:Lien web</ref>.
- En particulier<ref name=":0" />,<ref>Modèle:Lien web</ref>, les nombres à la fois hexagonaux centrés et premiers sont les nombres premiers différences de deux cubes consécutifs, c'est-à-dire les nombres premiers cubains de première espèce. On pense<ref>N. J. A. Sloane, Modèle:Lien web</ref> qu'il y en a une infinité.
- Les nombres hexagonaux centrés premiers inférieurs à Modèle:Math sont :
- Modèle:Math Modèle:Nowrap est la sous-suite d'indices Modèle:OEIS2C de la suite Modèle:OEIS2C).
- Modèle:Math, donc<ref name=":0" />,<ref name=":1">Modèle:Lien web</ref> la somme des Modèle:Mvar plus petits nombres hexagonaux centrés est Modèle:Math. Ainsi<ref>Modèle:MathWorld</ref>, les nombres pyramidaux hexagonaux centrés sont simplement les nombres cubiques, mais représentés par des formes différentes.
- Exemples<ref name=":1" /> :
- Conséquence<ref name=":1" /> :
Pour tout Modèle:Math, la moyenne des Modèle:Mvar plus petits nombres hexagonaux centrés est le Modèle:Mvar-ième nombre carré :- <math>\frac{C_{6,1} + \cdots + C_{6,n}}n = { \color{dimgray} \frac{n^3}n } = n^2.</math>
- Exemples<ref name=":1" /> :
