Nombre de Cullen

En mathématiques, le n-ième nombre de Cullen l'entier C_n := n2ⁿ + 1. Les nombres de Cullen furent étudiés en premier par le jésuite irlandais James Cullen en 1905<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} J. Cullen, « Question 15897 », Educ. Times, décembre 1905, Modèle:P..</ref>. Ils forment la suite d'entiers Modèle:OEIS2C de l'OEIS : 1, 3, 9, 25, 65, 161, 385Modèle:Etc.<ref>Modèle:MathWorld, omet C₀ = 1.</ref>.

Propriétés

Tous les C_n pour n > 0 sont des nombres de Proth.

Presque tous<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> les nombres de Cullen sont composés ; les seuls nombres de Cullen premiers connus sont ceux correspondant aux seize valeurs suivantes de l'indice n :

1, 141, 4 713, 5 795, 6 611, 18 496, 32 292, 32 469, 59 656, 90 825, 262 419, 361 275, 481 899, 1 354 828, 6 328 548 et 6 679 881 (suite Modèle:OEIS2C).

Cependant, on conjecture qu'il en existe une infinité d'autres<ref name=PP/>.

Le plus grand nombre de Cullen premier connu est 6 679 881 × 2^6679881 + 1. C'est un méganombre premier avec 2 010 852 chiffres (en base dix) et il a été découvert en 2009 par un participant japonais du projet PrimeGrid<ref>Modèle:Lien web.</ref>.

Il découle du petit théorème de Fermat que si p est un nombre premier impair, alors p divise C_m(k) pour Modèle:Nobr, pour tout k ≥ 0<ref name=PP/>.

Ce nombre p divise<ref name=PP/> :

• <math>C_{\frac{p + 1}2}</math> si le symbole de Legendre <math>\left(\frac2p\right)</math> est –1, c'est-à-dire si p est de la forme 8k ± 3 ;
• <math>C_{\frac{3p - 1}2}</math> si le symbole de Legendre <math>\left(\frac2p\right)</math> est +1, c'est-à-dire si p est de la forme 8k ± 1.

On ignore s'il existe un nombre premier p tel que C_p soit aussi premier<ref name=PP/>.

Variantes

Certains auteurs appellent « nombres de Cullen généralisés<ref name=PP>Modèle:Lien web.</ref> » les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme nbⁿ + 1, où n + 2 > b.

Les nombres de Woodall sont quelquefois appelés « nombres de Cullen de deuxième espèce<ref name=PP/> ».