Nombre pyramidal

Fichier:Square pyramidal number.svg

1+4+9+16=30, un nombre pyramidal carré

En arithmétique géométrique, un nombre pyramidal est un nombre figuré polyédrique représenté par une pyramide dont la base, un polygone régulier, représente un nombre polygonal.

Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième nombre k-pyramidal est donc<ref>Modèle:MathWorld.</ref> la somme des nombres k-gonaux d'indices 1 à n :

<math>\begin{align}P_n^{(k)}&=\sum_{i=1}^nP_{k,i}=\sum_{i=1}^n\frac{(k-2)i^2-(k-4)i}2=\frac12\left((k-2)\frac{n(n+1)(2n+1)}6-(k-4)\frac{n(n+1)}2\right)\\&=\frac{n(n+1)}2\frac{(k-2)n-(k-5)}3.\end{align}</math>

Exemples

Nombre pyramidal	Somme de	Formule	Les dix premiers nombres	Numéro OEIS
Nombre pyramidal triangulaire, ou nombre tétraédrique	nombres triangulaires	<math>P^{(3)}_n=\frac{n(n+1)(n+2)}6</math>	1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220	Modèle:OEIS
Nombre pyramidal carré	nombres carrés	<math>P^{(4)}_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6</math>	1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385	Modèle:OEIS
Nombre pyramidal pentagonal	nombres pentagonaux	<math>P^{(5)}_n=\frac{n^2(n+1)}2</math>	1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550	Modèle:OEIS
Nombre pyramidal hexagonal	nombres hexagonaux	<math>P^{(6)}_n=\frac{n(n+1)(4n-1)}6</math>	1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715	Modèle:OEIS
Nombre pyramidal heptagonal	nombres heptagonaux	<math>P^{(7)}_n=\frac{n(n+1)(5n-2)}6</math>	1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645, 880	Modèle:OEIS