Nombre étoilé

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Le Modèle:5e étoilé vaut 121, comme somme de 61 (le Modèle:5e hexagonal centré) et de 60 (six fois le Modèle:4e triangulaire).

En mathématiques, un nombre étoilé est un nombre figuré polygonal centré qui représente un hexagramme centré, comme le plateau des dames chinoises.

Le n-ième nombre étoilé S_n s'exprime simplement en fonction du (n – 1)-ième nombre triangulaire t_n–1 = n(n – 1)/2 : S_n est la somme du n-ième nombre hexagonal centré, qui vaut 1 + 6t_n–1, et de 6 fois t_n–1. Il est donc égal au n-ième nombre dodécagonal centré :

<math>S_n=C_{12,n}=1+12\,t_{n-1}=1+6\,n(n-1).</math>

Les 25 premiers nombres étoilés sont 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, 1 093, 1 261, 1 441, 1 633, 1 837, 2 053, 2 281, 2 521, [[2 773 (nombre)|Modèle:Nombre]], 3 037, 3 313 et 3 601 (Modèle:OEIS). Cette suite d'entiers est de période 25 modulo 100 et de période 3 modulo 9.

Il existe une infinité d'indices n pour lesquels le n-ième nombre étoilé est triangulaire (Modèle:OEIS) et une infinité pour lesquels il est carré (Modèle:OEIS). Dans les deux cas, ce sont les solutions d'une équation diophantienne. Les trois premiers nombres étoilés triangulaires sont S₁ = 1 = t₁, S₇ = 253 = t₂₂ et S₉₁ = 49 141 = t₃₁₃ et les trois premiers nombres étoilés carrés sont S₁ = 1², S₅ = 121 = 11² et S₄₅ = 11 881 = 109².

Les dix plus petits nombres étoilés premiers sont 13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661, 937 et 1 093 (Modèle:OEIS).