Groupe résoluble

En mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions.

Histoire

Modèle:Article détaillé La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, Modèle:Etc.).

Définition

Un groupe G est résoluble lorsqu'il existe une suite finie G₀, G₁, …, G_n de sous-groupes de G telle que :

<math>\{e\} = G_0\triangleleft G_1\triangleleft \ldots\triangleleft G_{n-1}\triangleleft G_n = G</math>

où la notation <math>\triangleleft</math> signifie que pour tout i ∈ [0,n–1], G_i est un sous-groupe normal de G_i+1, et le groupe quotient G_i+1/G_i est abélien (<math>\{e\}</math> est le sous-groupe trivial de G).

G₀, G₁, …, G_n est donc une Modèle:Lien dont tous les facteurs sont abéliens.

La suite G₀, G₁, …, G_n est dite suite de résolubilité de G. Si pour tout i∈[0,n–1], G_i ≠ G_i+1 (c’est-à-dire qu'il s'agit de sous-groupes propres), on l'appelle suite de résolubilité sans répétition.

Un groupe est résoluble si et seulement si sa suite dérivée est stationnaire à {e}. Le plus petit entier naturel n tel que Dⁿ(G) = {e} est alors appelé la classe de résolubilité de G. Un groupe non trivial G est donc résoluble de classe n (≥ 1) si et seulement si son groupe dérivé D(G) est résoluble de classe n – 1.

Propriétés

• Les groupes résolubles de classe ≤ 1 sont les groupes abéliens.
• Tout sous-groupe d'un groupe résoluble est résoluble.
• Tout groupe quotient d'un groupe résoluble (par un sous-groupe normal) est résoluble (ce qu'on peut reformuler en : s'il existe un morphisme de groupes surjectif d'un groupe résoluble sur G, alors G est résoluble).
• Si H est distingué dans G et est résoluble de classe q et G/H est résoluble de classe p, alors G est résoluble de classe inférieure ou égale à p + q.
• Un groupe simple est résoluble si et seulement s'il est commutatif, ce qui a lieu si et seulement si c'est un groupe d'ordre premier (donc cyclique fini).
• Un groupe fini est résoluble si et seulement si, dans « sa » suite de Jordan-Hölder, chaque groupe quotient est d'ordre premier (puisque pour un groupe résoluble, les quotients d'une suite de Jordan-Hölder sont à la fois simples et résolubles).
• Un groupe d'ordre n est résoluble si et seulement s'il vérifie la « réciproque » partielle suivante du théorème de Lagrange : pour tout diviseur d de n tel que d et n/d soient premiers entre eux, G possède un sous-groupe (de Hall) d'ordre d.
• Le théorème de Chafarevich, démontré en 1954, énonce que tout groupe résoluble est groupe de Galois d'un corps de nombres.

Exemples

• Tout groupe d'ordre strictement inférieur à 60 est résoluble.
• Pour n ≥ 5, le groupe alterné A_n est simple et non abélien, donc non résoluble.
• Le groupe symétrique S_n n'est donc résoluble que si n ≤ 4.
• Tous les groupes nilpotents sont résolubles.
• Le groupe des matrices n×n triangulaires supérieures inversibles à coefficients dans un anneau commutatif A est résoluble, comme extension du groupe abélien (A^×)ⁿ par le groupe nilpotent H_n(A).
• Si G est un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, alors G est résoluble (c'est le théorème de Schmidt).

Théorème de Feit-Thompson

Tout groupe fini d’ordre impair est résoluble.

Il en résulte que tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair et contient donc au moins une involution (c'est-à-dire un élément d'ordre 2).

Voir aussi

Bibliographie

• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} K. Doerk et T. Hawkes, Finite Soluble Groups, Berlin, de Gruyter, 1992
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} J. C. Lennox et D. J. S. Robinson, The theory of infinite soluble groups, Oxford University Press, 2004

Articles connexes

• Modèle:Lien (i. e. de classe de résolubilité 2)
• Modèle:Lien (i. e. groupe résoluble Modèle:Lien ou, ce qui est équivalent, résoluble par une chaîne normale dont tous les facteurs sont cycliques)
• Groupe super-résoluble (résoluble par une chaîne normale à facteurs cycliques, avec G_i normal non seulement dans G_i+1 mais dans G)
• Groupe virtuellement résoluble (un groupe qui possède un sous-groupe résoluble d’indice fini)
• Nombre résoluble (entier n ≥ 1 tel que tout groupe d'ordre n soit résoluble)
• Théorème de Chafarevich