Théorème d'Abel (analyse)
En mathématiques, le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, portant le nom de Niels Henrik Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.
Énoncé
La démonstration<ref>Modèle:Note autre projet</ref> repose sur la méthode classique de sommation par parties, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales.
Remarque : dans le cas où la série <math>\sum a_nz_0^n</math> est absolument convergente, le résultat est trivial. En effet, sous cette hypothèse, <math>\sum a_nz^n</math> converge même normalement sur le disque fermé de centre <math>0</math> et de rayon <math>\left|z_0\right|</math>.
Exemples
- Soit la série de Mercator
<math>f(x)=-\sum_{n\ge1}\frac{(-x)^n}n=\ln(1+x)</math> pour <math>|x|<1</math>. Comme la série harmonique alternée<math>\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n}n</math> converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on déduit sa somme du théorème d'Abel :<math>\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n}n=-\lim_{1^-}f=-\ln2</math>. - Soit
<math>g(x)=\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}=\arctan x</math> pour <math>|x|<1</math>. Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que <math>\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> converge, d'où la formule de Leibniz :<math>\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n}{2n+1}=\lim_{1^-}g=\arctan1=\frac\pi4</math>. - Soient <math>\Sigma a_n</math> et <math>\Sigma b_n</math> deux séries convergentes et <math>\Sigma c_n</math> leur produit de Cauchy :
<math>c_n=\sum_{i+j=n}a_ib_j</math>. On déduit du théorème d'Abel<ref>Modèle:Note autre projet</ref> que si la série <math>\Sigma c_n</math> converge alors sa somme est égale au produit des deux sommes <math>A=\Sigma a_n</math> et <math>B=\Sigma b_n</math> :<math>\Sigma c_n=C\Rightarrow C=AB</math>.
Réciproque partielle
Tauber<ref>Modèle:MacTutor</ref> a démontré en 1897<ref>Modèle:Article.</ref> que sous l'hypothèse an = o(1/n), si la limite radiale existe, alors la série converge et lui est égale. Ce résultat a été amélioré par Littlewood : l'hypothèse an = O(1/n) suffit<ref>Ceci fournit un autre argument pour traiter les deux premiers exemples ci-dessus.</ref>. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood en est une généralisation.
