Méthode LUX de Conway pour les carrés magiques
{{#invoke:Bandeau|ébauche}} La méthode LUX de Conway pour les carrés magiques est, en mathématiques, un algorithme inventé par John Horton Conway pour créer des carrés magiques d'ordre <math>4n + 2</math>, où <math>n \in \N^\star</math>.
Méthode
On commence par créer un tableau de <math>2n+1</math> cases de côté, en le remplissant comme suit, de haut en bas :
- <math>n+1</math> lignes de L.
- <math>1</math> ligne de U.
- <math>n-1</math> ligne(s) de X.
Puis, on échange le U au milieu de sa ligne avec le L qui le surplombe.
Chaque lettre représentera, dans le carré magique final d'ordre <math>4n+2</math>, un bloc carré de 4 cases.
On construit ensuite le tableau final, puis on le parcourt en suivant les cases du tableau « LUX » selon la méthode dite de Siam, permettant de créer de carrés magiques d'ordre impair (or, <math>2n+1</math> est impair) :
- On commence par le milieu de la Modèle:1re. Puis, à chaque itération, en revenant par le bas ou la gauche du carré quand les bords haut ou droit sont dépassés :
- Si la case juste en haut à droite est libre, on s'y déplace.
- Sinon, on se déplace dans la case juste au-dessous de la case actuelle.
On effectue donc ces déplacements sur le tableau « LUX ». À chaque arrivée dans une case de celui-ci, on se reporte ensuite au carré magique final, en repérant les 4 cases correspondant à la case unique de « LUX ». On remplit ensuite ces 4 cases avec les entiers croissants, suivant directement les 4 entiers placés dans le bloc de 4 cases précédent. À noter que le tout premier nombre placé dans le carré magique est 1. L'ordre croissant des 4 entiers remplissant un bloc de 4 cases est déterminé par la lettre présente dans « LUX », en relation avec les schémas de construction suivants :
- <math>\mathrm{L}: \quad \begin{smallmatrix}4&&1\\&\swarrow&\\2&\rightarrow&3\end{smallmatrix} \qquad \mathrm{U}: \quad \begin{smallmatrix}1&&4\\\downarrow&&\uparrow\\2&\rightarrow&3\end{smallmatrix} \qquad \mathrm{X}:\quad \begin{smallmatrix}1&&4\\&\searrow\!\!\!\!\!\!\nearrow&\\3&&2\end{smallmatrix}</math>
Exemple
Prenons par exemple <math>n = 2</math>. Le tableau « LUX » est de côté 5 :
L L L L L L L L L L L L U L L U U L U U X X X X X
On peut ainsi construire un carré magique d'ordre 10 :
68 65 96 93 4 1 32 29 60 57 66 67 94 95 2 3 30 31 58 59 92 89 20 17 28 25 56 53 64 61 90 91 18 19 26 27 54 55 62 63 16 13 24 21 49 52 80 77 88 85 14 15 22 23 50 51 78 79 86 87 37 40 45 48 76 73 81 84 9 12 38 39 46 47 74 75 82 83 10 11 41 44 69 72 97 100 5 8 33 36 43 42 71 70 99 98 7 6 35 34
