Théorème de Bachet-Bézout
Modèle:Voir homonymes Modèle:Confusion
En mathématiques, et plus précisément en arithmétique élémentaire, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire :
d'inconnues x et y entiers relatifs, où a et b sont des coefficients entiers relatifs et où pgcd(a, b) est le plus grand commun diviseur de a et b.
Le théorème de Bézout affirme que les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si l'équation ax + by = 1 admet des solutions.
Historique
Dans l'équivalence du « théorème de Bézout », le sens réciproque — le « si » — va de soi Modèle:Infra<ref>Seul le sens direct est mentionné, sous le nom de théorème de Bachet, par Modèle:Ouvrage.</ref>.
La première démonstration actuellement connue du sens direct — le « seulement si » — est due à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>. Elle figure dans la seconde édition de son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres<ref>Prop. 18 des Problèmes plaisans et délectables, Modèle:P. : Deux nombres premiers entre eux étant donnés, trouver le moindre multiple de chacun d'iceux, surpassant de l'unité un multiple de l'autre. Pour cela, Bachet applique l'algorithme d'Euclide, décrit dans la prop. 1 du Livre VII des Éléments d'Euclide. Cette proposition affirme que, si le résultat de l'algorithme conduit au nombre 1, alors les nombres sont premiers entre eux, mais c'est la réciproque de cette proposition que Bachet utilise, en énonçant (p. 20), sans plus de précisions, que cette réciproque a été Modèle:Citation.</ref>, parue en 1624.
Au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, le mathématicien Étienne Bézout a généralisé ce résultat, notamment aux polynômes.
Bourbaki, dans les Éléments d’histoire des mathématiques, énonce le résultat sur un anneau principal quelconque et lui donne le nom de Modèle:Citation<ref>Modèle:Ouvrage. L. Alfonsi indique aussi quelques manuels du début du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle où le nom de Bézout est utilisé.</ref>.
Dans l'ensemble des entiers relatifs
Deux théorèmes
Infinité de solutions
Les deux théorèmes assurent l'existence d'un couple d'entiers tels que Modèle:Nobr. Les démonstrations ci-dessous fournissent une seule solution, mais il en existe en général une infinité d'autres.
Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et l'on peut écrire Modèle:Retrait mais aussi Modèle:Retrait
À partir d'un couple solution Modèle:Formule, il est facile de prouver que l'on a aussi : Modèle:Retrait où Modèle:Formule peut varier dans ℤ.
Lien entre les deux théorèmes
Le second théorème — sans le sens réciproque qui, comme déjà dit, est immédiat Modèle:Infra — est le cas particulier d = 1 du premier.
Inversement, le premier se déduit du second en remarquant que a = da' et b = db' avec a' et b' entiers premiers entre eux, et que Modèle:Nobr entraîne alors Modèle:Nobr Ce lien permet aussi de démontrer que x et y sont premiers entre eux dans les deux équations. On peut donc se contenter de démontrer l'un ou l'autre.
Démonstration du premier théorème
L'algorithme d'Euclide étendu, en fournissant un couple d'entiers solution de l'équation ax + by = pgcd(a, b), prouve le premier théorème. On peut aussi, en raisonnant sur le plus petit entier strictement positif de la forme ax + by, en donner une démonstration<ref>Modèle:Note autre projet</ref> plus proche de celle qui sera utilisée dans les anneaux principaux.
Démonstration directe du second théorème
Une preuve moins constructive du second théorème<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage, th. 56.</ref> consiste à considérer le groupe des inversibles modulo a, c'est-à-dire le groupe des unités de l'anneau ℤ/aℤ. En effet, en supposant que b est premier avec a, montrer qu'il existe deux entiers x et y tels que by = 1 – ax revient à montrer que b est inversible modulo a.
On considère pour cela l'application « produit par b », de ℤ/aℤ dans lui-même. Cette application est injective car si bModèle:Surligner = bModèle:Surligner alors b(y – z) est divisible par a donc y – z aussi (d'après le lemme de Gauss), si bien que Modèle:Surligner = Modèle:Surligner. Comme ℤ/aℤ est un ensemble fini, on déduit de cette injectivité que l'application est surjective. L'antécédent de Modèle:Surligner fournit alors un inverse pour b modulo a.
Résultat réciproque
Modèle:Énoncé Modèle:Démonstration/début
- Si d = ax + by alors tout diviseur de a et b divise d. Si de plus d est un diviseur positif commun à a et b, c'est donc le plus grand.
- Comme précédemment, le second énoncé est le cas particulier d = 1 du premier.
- Remarque
- Dans le premier de ces deux énoncés, l'hypothèse que d divise a et b est indispensable. S'il existe deux entiers x et y tels que Modèle:Nobr, on peut seulement dire que d est un multiple du PGCD. Par exemple, il existe deux entiers x et y tels que Modèle:Nobr (il suffit de prendre Modèle:Nobr et Modèle:Nobr) alors que 5 n'est pas le PGCD de 2 et 3.
Applications
Le théorème de Bachet-Bézout intervient dans de nombreux domaines de la théorie des nombres. Il intervient dans
- la recherche d'inverse modulo b (il est donc utile dans le décodage de message en cryptographie) ;
- la résolution de l'équation diophantienne ax + by = c.
Généralisation
Modèle:Théorème En d'autres termes, quand les ak ne sont pas tous nuls, le PGCD de a1, …, an est le plus petit entier strictement positif qui peut s'écrire comme combinaison linéaire à coefficients entiers de a1, …, an.
Dans l'ensemble des polynômes
Modèle:Ancre Modèle:Article détaillé L'identité de Bézout se généralise à l'ensemble des polynômes à une indéterminée sur un corps commutatif K. Modèle:Théorème
Extension aux anneaux principaux quelconques
L'identité de Bézout peut s'écrire non seulement dans l'anneau des nombres entiers relatifs, mais aussi dans tout autre anneau principal. (Notons que dans ce cas « plus grand » diviseur commun s'entend seulement au sens de la relation de préordre fournie par la divisibilité dans l'anneau ; l'unicité du PGCD n'est conservée qu'à un facteur inversible près de l'anneau.) C'est-à-dire, si A est un anneau principal, et a et b sont des éléments de A, alors il existe un plus grand diviseur commun d de a et b et des éléments x et y dans A tels que d = ax + by.
Cette propriété résulte du fait que l'idéal aA + bA engendré par a et b est principal. En effet, tout générateur d de aA + bA est un diviseur commun à a et b (puisque a et b appartiennent à aA + bA), et c'est « le » plus grand au sens de la divisibilité, c'est-à-dire que tout diviseur commun c divise d (puisque c divise tout élément de aA + bA).
Extension à d'autres anneaux
Modèle:Article détaillé L'identité de Bachet-Bézout a donné lieu à une classe d'anneaux : un anneau A est dit de Bézout si tout idéal de type fini de A est principal (mais l'anneau peut éventuellement contenir des idéaux qui ne sont pas de type fini). Autrement dit, A est de Bézout si deux éléments quelconques a, b de A possèdent toujours un PGCD, et si celui-ci peut toujours s'écrire sous la forme xa + yb (pour certains éléments x, y de A).
