Circuits magnétiquement couplés

Des circuits magnétiquement couplés sont des circuits électriques bobinés autour d'un même circuit magnétique. Par exemple deux enroulements d'un transformateur ou d'une machine électrique. On abrège souvent l'expression en Circuits couplés

Paramètres d'un ensemble de deux circuits magnétiquement couplés

Équations et schémas

On représente en général deux bobines magnétiquement couplées à l'aide du montage suivant :

Fichier:Circuits couplés 1.png

avec <math> L_1 \, </math> et <math> L_2 \, </math> les inductances propres de chacune des bobines et <math> M \, </math> : l'inductance mutuelle.

Les équations liants les grandeurs électriques sont les suivantes :

<math>

\begin{cases} -e_{1}=L_{1}.\frac{di_{1}}{dt}+M_{}.\frac{di_{2}}{dt}\\ -e_{2}=L_{2}.\frac{di_{2}}{dt}+M_{}.\frac{di_{1}}{dt}\end{cases}</math>

Cette modélisation occulte totalement les non-linéarités et les diverses pertes (pertes par effet Joule et pertes magnétiques dites « pertes fer »), mais elle permet de faire une étude analytique approchée (et souvent suffisante) de nombreux dispositifs de l'électrotechnique, tels que les machines électriques et les transformateurs. Les résistances des bobines ne sont pas non plus représentées, car elles ne modifient pas les démonstrations ci-dessous.

Pour des raisons pratiques et/ou historiques, c'est le montage ci-dessous qui est utilisé :

Fichier:Circuits couplés 2.png

Ce deuxième montage ne fait plus apparaître l'inductance mutuelle et il comporte quatre paramètres au lieu de trois. L'un de ces paramètres est donc choisi arbitrairement et c'est ce qui fait l'originalité de chacun des modèles existants. Conventionnellement le circuit d'indice 1 est appelé circuit primaire et celui d'indice 2 circuit secondaire, en référence aux transformateurs.

• <math> l_1 \, </math> et <math> l_2 \, </math> sont appelées inductances de fuite primaire et secondaire
• <math> L_{\mu} \, </math> est l'inductance de magnétisation ramenée au primaire.
• <math> a \, </math> est le rapport de transformation du transformateur idéal introduit dans cette modélisation.

Une analyse mathématique des deux montages permet de montrer qu'ils sont totalement équivalents si les relations suivantes sont vérifiées :

<math> L_{\mu} = \frac{M}{a} \, </math>

<math> l_1 = L_1 - \frac{M}{a} \, </math>

<math> l_2 = L_2 - a M \, </math>

Modèles usuels des circuits couplés

Modèle à fuites totalisées au primaire

Fichier:Modèle à fuites primaires.png

Dans ce modèle on affirme que les fuites magnétiques n'existent pas pour l'enroulement secondaire. Le paramètre choisi est :

<math> l_2 = 0 = L_2 - a M \, </math>

Ceci a pour conséquence que les paramètres de ce modèle sont liés avec les inductances par les relations :

<math>K_p = a = \frac{L_2}{ M} \, </math>

<math> L_p =L_{\mu} = \frac{M^2}{L_2} \, </math>

<math> L_{fp} = L_1 - L_{\mu} =L_1- \frac{M^2}{L_2} = \sigma L_1\, </math>

avec : <math> \sigma = 1- \frac{M^2}{L_1L_2} \, </math> : coefficient de fuite ou coefficient de Blondel.

Ce modèle est particulièrement intéressant lorsqu'on s'intéresse aux effets des inductances de fuite du circuit couplé sur l'alimentation du montage. Par exemple pour le dimensionnement du transformateur dans les alimentations à découpage de type fly-back.

Modèle à fuites totalisées au secondaire

Fichier:Modèle à fuites secondaires.png

Dans ce modèle on affirme que les fuites magnétiques n'existent pas pour l'enroulement primaire. Le paramètre choisi est :

<math> l_1 = 0 = L_1 - \frac{M}{a} \, </math>

Ceci a pour conséquence que les paramètres de ce modèle sont liés avec les inductances par les relations :

<math>K_s = a = \frac{M}{ L_1} \, </math>

<math> L_{\mu} = L_1 \, </math>

<math> l_{fs} =L_2- \frac{M^2}{L_1} = \sigma L_2\, </math>

Pour des raisons de commodité, il est fréquent de ramener l'impédance de fuite du côté primaire :

Fichier:Modèle à fuites secondaires 2.png

Avec :<math>N_s \, </math> : impédance ramenée au primaire de l'inductance de fuite secondaire <math>l_{fs} \, </math>. Cette impédance ramenée ne doit pas être confondue avec l'impédance de fuite primaire du précédent modèle.

<math>N_s = \frac{l_{fs}}{K_s^2} = L_1 \cdot (\frac{L_1L_2}{M^2} - 1)= L_1 \cdot \frac{\sigma}{1-\sigma} </math>

Ce modèle est très pratique pour calculer l'influence du circuit magnétique sur l'alimentation électrique quand celle-ci alimente le primaire. On l'utilise par exemple pour modéliser la machine asynchrone

Modèle à fuites séparées

Ce modèle est couramment utilisé pour les transformateurs.

On pose <math> a = m = \frac{n_2}{n_1} \, </math> égal au rapport du nombre de spires de la bobine 2 par le nombre de spires de la bobine 1.

Fichier:Modèle à fuites séparées.png

On obtient :

<math> L_{\mu} = \frac{M}{m} \, </math>

<math> l_1 = L_1 - \frac{M}{m} \, </math>

<math> l_2 = L_2 - m M \, </math>

On peut également ramener l'inductance de magnétisation au secondaire et obtenir le modèle équivalent suivant :

Fichier:Modèle à fuites séparées 2.png

avec :<math> L_{2\mu} = L_{1\mu}{m^2} \, </math>

Modèle en T

On pose <math> a = 1 \, </math> ce qui revient à faire disparaître le transformateur du modèle :

Fichier:Modèle en T.png

Attention ! : Ce modèle fonctionne parfaitement d'un point de vue mathématique mais il est parfois illusoire de vouloir trouver un sens physique aux trois dipôles qui le constituent.

Par exemple les valeurs de <math>L_1 -M \, </math> ou de <math>L_2 -M \, </math> peuvent être négatives, ce qui revient à dire, en régime sinusoïdal de courant, que l'inductance se comporte comme un condensateur !

Ensemble de trois circuits magnétiquement couplés

Fichier:Modele transformateur trois enroulements.svg

Modèle d'un transformateur à trois enroulements

Les notations restent similaire à celles pour deux circuits : L₁, L₂ et L₃ sont les inductances propres' de chacune des bobines, <math>M_{12}=M_{21}</math> est l'inductance mutuelle entre le circuit 1 et le circuit deux, de la même façon <math>M_{13}=M_{31}</math> et <math>M_{23}=M_{32}</math>. Enfin <math>L_{\mu}</math> est l'inductance de magnétisation ramenée au primaire. Les rapports de transformation du transformateur idéal sont notés <math>m_{12}</math> et <math>m_{13}</math>. Le schéma équivalent d'un tel ensemble est présenté ci-contre. Les paramètres sont reliés par les équations suivantes <ref>Modèle:Ouvrage</ref>:

<math>m_{12}=\frac{M_{23}}{M_{13}}</math>

<math>m_{13}=\frac{M_{23}}{M_{12}}</math>

<math>L_{\mu}=\frac{M_{13} \cdot M_{12}}{M_{23}}</math>

<math>l_1=L_1-\frac{M_{13} \cdot M_{12}}{M_{23}}</math>

<math>l_2=L_2-\frac{M_{23} \cdot M_{12}}{M_{13}}</math>

<math>l_3=L_3-\frac{M_{13} \cdot M_{23}}{M_{12}}</math>

Les modèles en T usuels pour les transformateurs de puissance sont présentés dans l'article couplage de transformateurs triphasés.

Facteur de dispersion<ref>Modèle:Ouvrage</ref>

• Dans le cas idéal, il n’y a aucun flux de fuite entre deux bobinages couplés magnétiquement.

<math display="block">\phi_1 = \phi_2 \rightarrow \cfrac{\Phi_1}{N_1} = \cfrac{\Phi_2}{N_2} \rightarrow \cfrac{L_1i_1 + M i_2}{N_1}= \cfrac{Mi_1 +L_2i_2}{N_2}</math>avec i2 = 0: <math>M= \cfrac{N_2}{N_1}L_1</math> et avec i1 = 0: <math>M= \cfrac{N_1}{N_2}L_2</math>, on obtient:

<math display="block">M^2 = L_1 L_2</math>

On parle alors de couplage magnétique parfait.

• En réalité, il y a toujours des flux de fuite entre deux bobinages couplés magnétiquement.
  <math display="block">\phi_1 = \phi_2 + \phi_{f,1} \rightarrow \phi_1 \neq \phi_2 \rightarrow M^2 \neq L_1 L_2</math> On définit alors le coefficient de dispersion σ:

<math display="block">\sigma = 1 - \cfrac{M^2}{L_1 L_2}</math>avec 0<σ<1,

si σ=0, alors il n'y a aucune fuite, la totalité du flux est conservé

si σ=1, alors aucun flux n'est transféré

Lien externe

• Modèle:Ouvrage