Transformation en Z
La transformation en Z est un outil mathématique de l'automatique et du traitement du signal, qui est l'équivalent discret de la transformation de Laplace. Elle transforme un signal réel du domaine temporel en un signal représenté par une série complexe et appelé transformée en Z.
Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète.
Définition
Sa définition mathématique est la suivante : la transformation en Z est une application qui transforme une suite s (définie sur les entiers) en une fonction S d'une variable complexe nommée z, telle que :
- <math>S(z) = \mathcal{Z}\{s(n)\} =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}s(n)z^{-n},\quad z \in \left\lbrace z\in\mathbb{C} \Big|\sum_{n=-\infty}^{+\infty}s(n)z^{-n} \quad \mathrm{converge}\right\rbrace</math>
La variable n représente en général le temps discrétisé, la variable complexe z n'est qu'un être mathématique. Lorsqu'on travaille sur s(n) on dit que l'on est dans le domaine temporel, lorsqu'on travaille sur S(z) le domaine est appelé fréquentiel par analogie avec la transformée de Fourier.
Si <math>\forall n<0,\ s(n)=0</math>, on parle de signal causal. Inversement, si <math>\forall n>0,\ s(n)=0</math>, on parle de signal anti-causal.
Pour les signaux causaux, on peut aussi utiliser la transformée en Z monolatérale :
- <math>\mathcal{Z}_{+}\left\{ s\left( n\right) \right\} =\sum_{n=0}^{+\infty}s\left( n\right) z^{-n}</math>
Existence de la transformée en Z
Le domaine de convergence est le sous-ensemble de <math>\mathbb{C}</math> dans lequel la série converge.
Autrement dit, le domaine de convergence de la transformée en <math>z</math> de la suite <math>(x(n))_{n\in\mathbb{Z}}</math> est l'ensemble :
- <math>\left\{z\in\mathbb{C} \Big| \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} \quad\mathrm{existe}\right \}</math>
Le sous-ensemble de <math>\mathbb{C}</math> dans lequel cette série converge absolument est appelé la couronne de convergence<ref>Modèle:Harvsp, §12.3.5</ref>. En posant <math>z=\rho e^{i\theta}~</math>, il vient :
- <math>|S(z)|=\left| \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}\right|\leqslant \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x(n)\right|\rho^{-n}=\lim_{N,M\rightarrow \infty }S_{N,M}\left( \rho \right),</math> avec <math>S_{N,M}\left( \rho \right)=\sum_{n=-N}^{M}\left\vert x(n)\right\vert\rho ^{-n}.</math>
Le domaine de convergence absolue de <math>S(z)</math> est donc une couronne
- <math>\mathcal{C}_{c}=\left\{ z\in \mathbb{C} :\rho _{1}\prec \left\vert z\right\vert \prec \rho _{2}\right\}</math>
où <math> \prec</math> signifie à chaque fois <math> < </math> ou <math>\leq</math> et où l'inégalité (large ou stricte) <math>\left\vert z\right\vert \succ \rho _{1}</math> (resp. <math>\left\vert z\right\vert \prec\rho _{2}</math>) est la condition nécessaire et suffisante pour que <math>S_{N,M}\left( \rho \right)</math> ait une limite finie lorsque <math>M</math> (resp. <math>N</math>) tend vers <math>+\infty</math>. Explicitement<ref>D'après Modèle:Harvsp, §II.2</ref>,
- <math>\rho _{1}=\limsup_{n\rightarrow +\infty }\sqrt[n]{\left\vert x(n) \right\vert },\quad\rho _{2}=\liminf_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{\sqrt[n]{\left\vert
x(-n)\right\vert }}.</math>
Dans toute la suite de l'article, la couronne de convergence <math>\mathcal{C}_{c}</math> est supposée non vide et les transformées en Z sont valides pour <math>z\in \mathcal{C}_{c}</math> seulement.
Propriétés de la transformation en Z
On montre les propriétés énoncées ci-dessous<ref>Modèle:Harvsp, §§12.3.5, 12.4.4; Modèle:Harvsp, Chap. II</ref> :
La transformée en Z d'une combinaison linéaire de deux signaux est la combinaison linéaire des transformées en Z de chaque signal.
- <math>\mathcal{Z}\{a_1 x_1(n) + a_2 x_2(n)\} = a_1 \mathcal{Z}\{x_1(n)\} + a_2 \mathcal{Z}\{x_2(n)\} \ </math>
- Décalage temporel
Le décalage temporel de k échantillons d'un signal se traduit par la multiplication de la transformée en Z du signal par z−k.
- <math>\mathcal{Z}\{x(n-k)\} = z^{-k}\mathcal{Z}\{x(n)\}.~</math>
- Avance
Lorsqu'on utilise la transformée en Z monolatérale (voir ci-dessus), on obtient
- <math>\mathcal{Z}_{+}\left\{ x\left( n+k\right) \right\} =z^{k}\left[ \mathcal{Z}_{+}\left\{ x\left( n\right) \right\} -\sum_{j=0}^{k-1}x\left( j\right)
z^{-j}\right]</math>
- Convolution
La transformée en Z d'un produit de convolution est le produit des transformées en Z
- <math>\mathcal{Z}\{x * y\} = \mathcal{Z}\{x\} \mathcal{Z}\{y\} \ </math>
où <math>\left( x* y\right) \left( n\right) =\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x\left( n-k\right) y\left( k\right) </math>.
En effet,
- <math>\begin{array}{rcl}
Z\left( \left\{ x* y\right\} \right) \left( z\right)& =&\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }\left\{ x\star y\right\} \left( n\right) z^{-n} \\ &=&\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }\sum\limits_{k=-\infty }^{+\infty }x\left( n-k\right) y\left( k\right) z^{-(n-k)}z^{-k} \\ &=&\sum\limits_{m=-\infty }^{+\infty }\sum\limits_{k=-\infty }^{+\infty }x\left( m\right) y\left( k\right) z^{-m}z^{-k} \\ &=&\left( \sum\limits_{m=-\infty }^{+\infty }x\left( m\right) z^{-m}\right) \left( \sum\limits_{k=-\infty }^{+\infty }y\left( k\right) z^{-k}\right) \end{array}</math>
- Multiplication par une exponentielle
- <math>\mathcal{Z}\{a^{n}x(n)\} = X\left(\frac{z}{a}\right)</math> avec <math>X(z)</math> transformée en Z de la suite <math>x(n)</math>
- Multiplication par la variable d'évolution
De façon générale :
- <math>\mathcal{Z}\{n^{k}x(n)\} = \left(-z \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}z}\right)^{k}\mathcal{Z}\{x(n)\}\ </math>
où <math>\textstyle\left(-z \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}z}\right)^{k}\mathcal{Z}\{x(n)\}</math> signifie que l'on applique k fois à <math>\mathcal{Z}\{x(n)\}</math> l'opérateur <math>\textstyle -z\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}z}</math>
Si l'on écrit cette formule au rang k=1, on obtient la formule de dérivation :
- <math>\mathcal{Z}\{nx(n)\} = -z \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}z}X(z)\ </math>
Théorème de la valeur initiale
Soit <math>x(n)\,</math> un signal causal et <math>X(z)\,</math> sa transformée en Z. Alors :
- <math>x(0) = \lim_{n \to 0}x(n)=\lim_{z \to +\infty}X(z)</math>
Théorème de la valeur finale
Soit <math>x(n)\,</math> un signal causal et <math>X(z)\,</math> sa transformée en Z. Alors lorsque la limite de gauche existe, on peut écrire :
- <math>\lim_{n \to +\infty}x(n)=\lim_{z\rightarrow
1,\left\vert z\right\vert >1}(z-1)X(z)</math>
Transformation en Z inverse
La transformée en Z inverse est donnée par :
- <math> x(n) = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} X(z) z^{n-1}\mathrm dz \ </math>
où <math>C</math> est un chemin fermé parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et appartenant entièrement au domaine de convergence.
En pratique, ce calcul s'effectue souvent à l'aide du théorème des résidus et la formule devient dans le cas d'un signal causal :
<math>x(n) = \sum_{ z_k={\rm p\hat{o}les\; de\; } z^{n-1}X(z) } \operatorname{Res}\{z^{n-1}X(z)\}_{z=z_k}\, </math>
Modèle:Boîte déroulante/début D'autres méthodes d'inversion pour passer de <math>X(z) </math> à <math> x(n) </math> sont : la lecture à l'envers de la table des transformées usuelles; l'application des règles de décalage, de combinaisons linéaires, de produit de convolution. En désespoir de cause, on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant à z k+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x(0) à x(k) qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Ou bien essayer de trouver un développement de Taylor ou Maclaurin de la fonction à inverser. Un cas particulier favorable se présente lorsque la fonction <math>X(z) </math> est une fraction rationnelle. En effet lorsque :<math>X(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}</math> , P et Q étant deux polynômes en 1/z, on peut effectuer la division jusqu'au degré de précision souhaité, et l'on obtient directement les valeurs numériques des coefficients <math> x(n) </math>, n variant de 0 à m. En l'occurrence on adopte plutôt dans ce cas la notation <math>H(z) = {NUM(z)}/{DENOM(z)}\ </math>. La raison en est que, pour les systèmes discrets ou échantillonnés, la fonction de transfert s'écrit h(n) et sa transformée en Z se présente souvent sous cette forme de quotient entre une sortie (en z) et une entrée (en z): <math>H(z) = {NUM(z)}/{DENOM(z)}\ </math>. Un exemple concret pour illustrer cette démarche:Modèle:Boîte déroulante/fin
Modèle:Boîte déroulante/début Attention, cette méthode est purement numérique, elle ne fournit pas l'expression analytique de la série inverse. Dans cet exemple, H(z) est le rapport de deux polynômes en 1/z. Le numérateur ressemble à la multiplication par 2 du dénominateur décalé de 1 période, mais on choisit des valeurs numériques un peu inexactes pour éviter un parfait quotient égal à 2/z.
- Le numérateur, de puissance 11, est une expression de la forme :
<math>\textstyle \scriptstyle NUM(z)=num_0 + num_1 (1/z)^1 + num_2 (1/z)^2 + \cdots + num_{11} (1/z)^{11} </math> <math> NUM(z)=0 + 0 (1/z)^1 + 2,3 \cdot (1/z)^2 + 4,22\cdot (1/z)^3 + 6,2\cdot (1/z)^4 + 8,21\cdot (1/z)^5 + 10,2\cdot (1/z)^6 + 12,2\cdot (1/z)^7 + 12,22\cdot (1/z)^8 + 12,4\cdot (1/z)^9 + 12,4\cdot (1/z)^{10} + 12,4\cdot (1/z)^{11}. </math> - Le dénominateur, de puissance 10, est :
<math> DENOM(z)=0 + 1,1 \cdot (1/z)^1 + 2,1\cdot (1/z)^2 + 3,1\cdot (1/z)^3 + 4,1\cdot (1/z)^4 + 5,1\cdot (1/z)^5 + 6,1\cdot (1/z)^6 + 6,1\cdot (1/z)^7 + 6,2\cdot (1/z)^8 + 6,2\cdot (1/z)^9 + 6,2\cdot (1/z)^{10}. </math> - Ici la division des polynômes ne « tombe pas juste », nous nous contentons d'une approximation du quotient Q(z), de la forme
<math>\sum_{n \geq 0} q_n(1/z)^n</math>
jusqu'à la puissance 10 :
- <math> \begin{matrix}
Q(z)&=0 + 2,090909\cdot (1/z)^1 -0,155372 \cdot (1/z)^2 + 0,040421\cdot (1/z)^3 + 0,0309047\cdot (1/z)^4 -0,015368 \cdot (1/z)^5\\
& + 0,007694\cdot (1/z)^6 + 0,101526\cdot (1/z)^7 -0,176646\cdot (1/z)^8 + 0,061258\cdot (1/z)^9 + 0,015904\cdot (1/z)^{10}.
\end{matrix}</math>
- Le reste R(z) de cette division incomplète est :
- <math>
\begin{matrix} R(z)&=0 + 0\cdot (1/z)^1 + 0\cdot (1/z)^2 + 0\cdot (1/z)^3 + 0\cdot (1/z)^4 + 0\cdot (1/z)^5 + 0\cdot (1/z)^6 \\ &+ 0\cdot (1/z)^7 + 0\cdot (1/z)^8 + 0\cdot (1/z)^9 + 0\cdot (1/z)^{10} + 0\cdot (1/z)^{11} + 0,550806\cdot (1/z)^{12}\\ &-0,413006\cdot (1/z)^{13}-0,063683 \cdot (1/z)^{14}+0,040876\cdot (1/z)^{15}-0,052647\cdot (1/z)^{16}\\ &-0,011071\cdot (1/z)^{17}+ 0,616793\cdot (1/z)^{18}-0,478404\cdot (1/z)^{19}-0,098602 (1/z)^{20}. \end{matrix}</math> On peut vérifier sur un tableur ou à la main que ces polynômes répondent bien à la définition de la division euclidienne: H(z) = NUM(z)/DENOM(z)= Q(z)+ R(z)/DENOM(z). On suppose que le reste est négligeable par rapport aux coefficients du quotient. Les schémas de ces divers polynômes peuvent être visualisés sur un tableur comme suit.
Fichier:ZtransfoNumDenomQuotient.PNG Fichier:ZtransfoPolynReste.PNG
Par curiosité on peut afficher la réponse impulsionnelle de l'approximation Q(z) de H(z). De même on peut afficher la réponse indicielle de Q(z) à un échelon de Heaviside. Fichier:Ztransfo2reponses.PNG
Si nous nous contentions d'une approximation moins précise de H(z) par le quotient Q(z), de la forme
- <math>\sum_{n \geq 0} q_n(1/z)^n</math>
jusqu'à la puissance 5 par exemple :
nous obtiendrions des courbes de réponse légèrement différentes, beaucoup moins précises (imprécision 6 fois plus forte environ). Le choix du degré d'approximation, autrement dit du meilleur compromis entre la précision et la lourdeur des calculs, est dicté par l'examen concret du problème spécifique que l'on traite.Modèle:Boîte déroulante/fin
Modèle:Boîte déroulante/début Pour passer de <math>X(z)</math> à <math> x(n) </math>, si aucune méthode ne semble déboucher, en désespoir de cause on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant à z k+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x(0) à x(k) qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Exemple :Modèle:Boîte déroulante/fin
Modèle:Boîte déroulante/début La série génératrice de la suite de Fibonacci est Modèle:Retrait donc sa transformée en Z est
Pour retrouver la formule de Binet, procédons à la transformation inverse. La méthode des fractions rationnelles peut être tentée. Le dénominateur possède deux pôles, <math>z_0</math> et <math>z_1</math> qui sont le nombre d'or :<math>z_0 = \varphi = {1 + \sqrt{5} \over 2}</math> et l'opposé de son inverse :<math>z_1 = 1-\varphi = {1-\sqrt{5} \over 2}</math>. Pour les calculs rencontrés ci-dessous on se servira des propriétés suivantes de <math>z_0</math> et <math>z_1</math> : <math>z_0-z_1=(2 \cdot z_0-1)=\sqrt{5}</math>, et
<math>(z-z_0) \cdot (z-z_1)=z^2-z-1</math>.
La fonction se décompose en fractions rationnelles élémentaires que l'on réécrit un peu :
- <math>F(z) = \frac{z}{z^2-z-1}=
\frac1\sqrt5 \cdot\left( \frac{z_0}{z-z_0}- \frac{z_1}{z-z_1} \right) = \frac1\sqrt5 \cdot\left( z_0\cdot\frac1{z-z_0} - z_1\cdot\frac1{z-z_1} \right)</math>.
Une fraction du type <math>1/(z-z_0)</math> peut se travailler ainsi :
- <math>\frac{ 1}{(z- z_0 )}= \frac{ z}{(z- z_{0})} \cdot \frac{ 1}{z}</math>
La première partie étant la transformée de la formule usuelle exponentielle , <math> z_0^{n} </math>, la seconde partie 1/z étant le retard pur d'un cran. Si bien que la transformée inverse de cette fraction élémentaire est <math> z_0^{n-1}</math>, en appliquant les règles de combinaisons linéaire nous calculons la suite cherchée :
- <math>\mathcal F_n= \frac{1}{\sqrt{5Modèle:Boîte déroulante/fin\left( z_{0} \cdot z_{0}^{n-1} - z_{1} \cdot z_{1}^{n-1}\right) =\frac{1}{\sqrt{5}}\left( z_{0}^{n} - z_{1}^{n}\right).</math>
}}
Relation avec les autres transformées
Transformée de Laplace
Modèle:Théorème\right. </math>.}}
Modèle:Démonstration\right.</math>.
Les égalités ci-dessus sont valides car dans chaque crochet de dualité, on a à gauche une distribution tempérée et à droite une fonction déclinante ; par suite, la substitution <math>p \mapsto z=e^{pT}</math> envoie la bande de convergence <math>\mathcal B_{c}</math> de <math>X_e(p)</math> du signal échantillonné <math>x_{e}</math> dans la couronne de convergence <math>\mathcal C_{c}</math> de <math>X(z)</math>.
Réciproquement, soit la suite de terme général <math>x\left[ n\right]</math> ; posons <math>x_{\alpha}\left[ n\right]=x\left[ n\right]e^{-\alpha n T}</math> et <math>p=\alpha + i \omega</math>. Le nombre complexe <math>z=e^{pT}</math> appartient à <math>\mathcal C_{c}</math> si, et seulement si la suite de terme général <math>x_{\alpha}\left[ n\right]</math> appartient à l'espace <math>\mathbf{s}^{\prime }</math> des « suites à croissance lente » (i.e. des suites a pour lesquelles il existe un entier <math>k>0</math> tel que <math>a\left[ n\right]=O(n^{k})</math> pour <math>n \rightarrow \infty</math><ref>Modèle:Harvsp, §12.3.2</ref>. La transformée de Fourier d'une telle suite est la distribution <math>2 \pi/T</math>-périodique
- <math>(\mathcal{F}a)\left( \omega \right) =\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }a\left[
n\right] e^{-in\omega T}</math>.
Associons à la suite a la distribution <math>\underline{a}</math> définie (en notation abusive) par
- <math>\underline{a}\left( t\right) =\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }a\left[ n
\right] \delta \left( t-nT\right)</math>.
L'application <math>a \mapsto \underline{a}</math> est un monomorphisme de <math>\mathbf{s}^{\prime }</math> dans l'espace des distributions tempérées <math>\mathcal{S}^{\prime }</math><ref>Modèle:Harvsp, Chap. 10, §4, Lemme 9.</ref> et la transformation de Fourier est un automorphisme de <math>\mathcal{S}^{\prime }</math>. On obtient alors (toujours en notation abusive)
- <math>(\mathcal{F}a)\left( \omega \right) =\underline{a}\left(
t\right)e^{-i\omega t}</math>.
Ce qui précède montre que
- <math>\left\langle X_{e}\left( \alpha +i\omega \right) ,\varphi \left( \omega
\right) \right\rangle =\left\langle( \mathcal{F}\underline{x_{\alpha }})\left( \omega \right) ,\varphi \left( \omega \right) \right\rangle .</math>
Récapitulons : si <math>z \in \mathcal C_{c}</math>, alors <math>\left( x_{\alpha }\left[ n\right] \right) \in \mathbf{s}^{\prime }</math>, donc <math>\underline{x_{\alpha }}\in \mathcal{S}^{\prime }</math>, donc <math>\mathcal{F}\underline{x_{\alpha }}\in \mathcal{S}^{\prime }</math>, donc (notation abusive) <math>X_{e}\left( \alpha +i\omega \right) \in \mathcal{S}^{\prime }</math>, donc <math>p \in \mathcal B_{c}</math>. On a donc montré que la correspondance <math>p \mapsto z=e^{pT}</math> est une surjection de <math> \mathcal B_{c}</math> sur <math> \mathcal C_{c}</math>.
}}
Transformée de Fourier et transformée de Fourier discrète
Si le cercle unité appartient à la couronne de convergence <math>\mathcal{C}_{c}</math>, la transformée de Fourier de la suite <math> (x[n]) \ </math> s'obtient en prenant la restriction de la transformée en Z de cette suite au cercle unité, c'est-à-dire en posant <math>z=e^{i\theta }</math>. La transformée de Fourier est en effet la fonction <math>2\pi</math>-périodique <math>\theta \mapsto X\left( e^{i\theta }\right) </math> (elle est <math>2 \pi/T</math>-périodique si l'on pose <math>\theta = \omega T</math> et qu'on prend comme variable la pulsation <math>\omega </math>). Si <math> (x[n]) \ </math> est une suite de nombres réels, on a <math>X\left( e^{-i\theta }\right) =\overline{X\left( e^{i\theta }\right) }</math>, par conséquent <math>\theta</math> peut être supposé varier dans l'intervalle <math>\left[ 0,\pi \right[ </math>.
La transformée de Fourier peut se définir pour des suites à croissance lente (elle est alors une distribution <math>2\pi</math>-périodique) et la transformée en Z à partir de cette transformée de Fourier plus générale (voir la démonstration ci-dessus)<ref>Modèle:Harvsp, §§12.3.3, 12.3.5</ref>.
Il existe également une relation entre la transformée en Z et la transformée de Fourier discrète (TFD).
La TFD d'un signal <math>\left\{ x_{n}\right\}</math> de support <math>\left\{ 0,1,...,N-1\right\}</math> est obtenue en évaluant <math>X(z)</math> en <math>z=e^{i\frac{2\pi k}{N}}</math> (avec <math>\qquad k=0,1,...,N-1</math>).
Transformées en Z usuelles
Ci-dessous, <math>\delta[n] \, </math> représente l'impulsion unitaire ou « suite de Kronecker » (égale à 1 pour <math>n = 0 </math> et à 0 sinon ; elle peut également s'écrire <math>\delta _{0}^{n}</math>, où <math>\delta _{i}^{j}</math> est le symbole de Kronecker) ; d'autre part, <math>u[n] \,</math> désigne l'échelon unitaire (égal à 1 pour <math>n\geq 0</math> et à 0 sinon).
| Signal <math>x(n)</math> | Transformée en Z <math>X(z)</math> | Domaine de convergence | |
|---|---|---|---|
| 1 | <math>\delta[n] \, </math> | <math>1\, </math> | <math> \mathbb{C}\ </math> |
| 2 | <math>u[n] \,</math> | <math> \frac{1}{1-z^{-1}}</math> | z| > 1\,</math> |
| 3 | <math>n u[n] \,</math> | <math> \frac{z^{-1}}{(1- z^{-1})^{2}}</math> | z| > 1\,</math> |
| 4 | <math>a^n u[n] \,</math> | <math> \frac{1}{1-a z^{-1}}</math> | z| > |a|\,</math> |
| 5 | <math>n a^n u[n] \,</math> | <math> \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }</math> | z| > |a|\,</math> |
| 6 | <math>-a^n u[-n-1] \,</math> | <math> \frac{1}{1-a z^{-1}}</math> | z| < |a|\,</math> |
| 7 | <math>-n a^n u[-n-1] \,</math> | <math> \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }</math> | z| < |a|\,</math> |
| 8 | <math>\cos(\omega_0 n) u[n] \,</math> | <math> \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }</math> | z| >1\,</math> |
| 9 | <math>\sin(\omega_0 n) u[n] \,</math> | <math> \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }</math> | z| >1\,</math> |
| 10 | <math>a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \,</math> | <math> \frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }</math> | z| > |a|\,</math> |
| 11 | <math>a^n \sin(\omega_0 n) u[n] \,</math> | <math> \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }</math> | z| > |a|\,</math> |
