Angles d'Euler
En mécanique et en mathématiques, les angles d'Euler sont des angles introduits par Leonhard Euler (1707-1783) pour décrire l'orientation d'un solide ou celle d'un référentiel par rapport à un trièdre cartésien de référenceModèle:Sfn. Au nombre de trois, ils sont appelés angle de précession, de nutation et de rotation propreModèle:Sfn,Modèle:Sfn, les deux premiers pouvant être vus comme une généralisation des deux angles des coordonnées sphériques.
Le mouvement d'un solide par rapport à un référentiel (un avion dans l'air, un sous-marin dans l'eau, des skis sur une pente...) fait intervenir six paramètres, qui sont, par exemple, les trois coordonnées décrivant la position de son centre de masse (ou d'un point quelconque du solide) et les trois angles d'Euler, Modèle:Cf. les schémas ci-dessous.
Les angles d'Euler peuvent aussi servir à représenter l'orientation d'un solide par rapport à un repère (appelée aussi attitude en astronautique).
-
Angles d'Euler ψ, θ et φ. Le référentiel fixe <math>Oxyz</math> est indiqué en noir, le référentiel mobile <math>Ox'y'z'</math>en rouge et la ligne des nœuds <math>Ou</math> en bleu.
-
Autre représentation.
Notations et étymologies
Les trois angles d'Euler, de précession, de nutation et de rotation propre (ou de giration), sont couramment notés respectivement Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.
Le mot précession vient du latin praecessio (« action de précéder ») ; cela provient de son utilisation en astronomie dans l'expression « précession des équinoxes ».
Le mot nutation vient du latin nutatio (« action de pencher la tête ») et est aussi utilisé en botanique pour signifier l'habitude qu’ont certaines plantes de pencher leurs fleurs<ref>Modèle:Lien web</ref>.
Le mot rotation vient du latin rotatio avec la même signification et le mot giration vient du latin gyratum, lui-même issu du grec gûros (« cercle »).
Exemple de la toupie
Dans l'exemple du mouvement de la toupie ci-contre, l'angle de nutation Modèle:Mvar mesure l'obliquité de l'axe par rapport à la verticale, l'angle de précession Modèle:Mvar mesure la rotation de l'axe de la toupie autour de Modèle:Mvar, et l'angle de rotation propre Modèle:Mvar mesure bien la rotation de la toupie sur elle-même.
On voit dans cet exemple que l'angle de précession Modèle:Mvar est égal à la longitude augmentée d'un angle droit et l'angle de nutation Modèle:Mvar est égal à la colatitude dans les coordonnées sphériques de l'axe Modèle:Mvar dans Modèle:Mvar.
Rotations d'Euler
Changement de référentiel
Les trois rotations obtenues en modifiant un des trois angles d'Euler et en gardant les deux autres constants sont la précession, la nutation et la rotation propre. On passe du référentiel fixe Modèle:Mvar au référentiel lié au solide Modèle:Mvar par trois rotations successives :
- La précession, d'angle Modèle:Mvar autour de l'axe Modèle:Mvar, qui fait passer de Modèle:Mvar au référentiel Modèle:Mvar (en bleu dans l'image de gauche ci-dessus).
- La nutation, d'angle Modèle:Mvar autour de l'axe Modèle:Mvar (ou ligne des nœuds), qui fait passer de Modèle:Mvar à Modèle:Mvar (en vert).
- La rotation propre, ou giration, d'angle Modèle:Mvar autour de l'axe Modèle:Mvar, qui fait passer de Modèle:Mvar au référentiel lié au solide Modèle:Mvar (en rouge).
NB. L'axe Modèle:Mvar est porté par l'intersection des plans Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.
Les coordonnées Modèle:Math d'un point dans le référentiel mobile Modèle:Mvar sont reliées aux coordonnées Modèle:Math de ce même point dans le référentiel fixe Modèle:Mvar par la relation suivante<ref>Modèle:Lien web</ref> :
<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}_{Oxyz} = A\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}_{Ox'y'z'}</math> avec la matrice de passage <math>A= \begin{pmatrix} \cos\psi\cos\varphi-\sin\psi\cos\theta\sin\varphi & -\cos\psi\sin\varphi-\sin\psi\cos\theta\cos\varphi & \sin\psi\sin\theta \\ \sin\psi\cos\varphi+\cos\psi\cos\theta\sin\varphi & -\sin\psi\sin\varphi +\cos\psi\cos\theta\cos\varphi & -\cos\psi\sin\theta \\ \sin\theta\sin\varphi & \sin\theta\cos\varphi& \cos\theta \end{pmatrix}</math><ref>Modèle:Article</ref>
Rappelons que cette matrice donne aussi verticalement les coordonnées des vecteurs unitaires <math>\overrightarrow{x'},\overrightarrow{y'}\overrightarrow{z'}</math> dans la base <math>(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\overrightarrow{z})</math>.Modèle:DémonstrationNotons que le passage inverse s'écrit <math>\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}_{Ox'y'z'} = A^T\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}_{Oxyz}</math>, où Modèle:Mvar est la transposée de Modèle:Mvar, cette dernière étant orthogonale.
Interprétation par composée de rotations
La matrice Modèle:Mvar est aussi la matrice dans le référentiel fixe Modèle:Mvar de la rotation Modèle:Mvar transformant ce référentiel en Modèle:Mvar. La décomposition de matrices Modèle:Mvar montre que cette rotation est la composée <math>r=r_3\circ r_2\circ r_1</math> où
- Modèle:Math est la rotation d'angle Modèle:Mvar autour de Modèle:Mvar,
- Modèle:Math est la rotation d'angle Modèle:Mvar autour de Modèle:Mvar,
- Modèle:Math est la rotation d'angle Modèle:Mvar autour de Modèle:Mvar.
Généralité de la décomposition
La donnée des deux référentiels Modèle:Mvar et Modèle:Mvar permet de connaitre les angles d'Euler. Celui de nutation Modèle:Mvar est l'angle entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, l'axe Modèle:Mvar s'obtient comme perpendiculaire commune à Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, et on obtient respectivement Modèle:Mvar et Modèle:Mvar comme angles entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar et entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.
La matrice Modèle:Mvar ci-dessus est donc la matrice générale d'une rotation, et la décomposition <math>r=r_3\circ r_2\circ r_1</math> prouve que le groupe des rotations d'axe passant par O est engendré par les rotations d'axes l'un de deux axes orthogonaux donnés passant par O.
En terme d'aéronautique, cela signifie qu'on obtient l'orientation quelconque d'un avion en utilisant deux des trois rotations : roulis (d'axe la carlingue), tangage (d'axe les ailes), et lacet (d'axe la verticale), par exemple roulis puis tangage puis roulis.
Autre conséquence : lorsqu'on manipule à la souris un objet visualisé à l'écran (vers le haut : rotation autour de l'horizontale, vers la droite : rotation autour de la verticale), on obtient toutes les orientations possibles de l'objet.
Nota : Modèle:Mvar est la rotation d'angle Modèle:Math autour de <math>\overrightarrow{n}</math> où
- <math>\cos\alpha=\cos^2\left(\frac{\varphi+\psi}{2}\right)\cos\theta-\sin^2\left(\frac{\varphi+\psi}{2}\right)
,\,\cos\frac{\alpha}{2}=\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\varphi+\psi}{2}</math>,
et <math>\sin\frac{\alpha}{2}\overrightarrow{n}</math> a pour coordonnées <math>\left ( \cos\left(\frac{\psi-\varphi}{2}\right)\sin\frac{\theta}{2},\sin\left(\frac{\psi-\varphi}{2}\right)\sin\frac{\theta}{2},\sin\left(\frac{\psi+\varphi}{2}\right)\cos\frac{\theta}{2}\right )</math>.
On obtient la première relation en écrivant que la trace de Modèle:Mvar est égale à Modèle:Math.
La deuxième et la troisième deuxième s'obtiennent facilement en écrivant les matrices d'Euler-Rodrigues de <math>r_3, r_2, r_1</math> et en effectuant leur produit.
Exemple : la rotation d'un tiers de tour autour de Modèle:Math de matrice <math>A= \begin{pmatrix} 0 & 0& 1 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1& 0 \end{pmatrix}</math> a pour angles d'Euler <math>(\varphi,\theta,\psi)=\left(\pi,-{\pi\over2},-{\pi\over2}\right)</math>.
Mécanique du solide
On s'intéresse seulement ici à la description du mouvement du solide en rotation quelconque autour du point O, qui peut être un point fixe du solide dans le référentiel de référence <math>Oxyz</math> ou le centre de masse. Les angles d'Euler sont choisis de façon à permettre une mémorisation simple de la construction du vecteur rotation instantané du solide, nécessaire à l'étude de la cinématique du solide. Le vecteur rotation instantané du solide est en effet donné par la simple somme :
- <math>\vec{\Omega} =\dot{\psi}\,\vec{z}+\dot{\theta}\,\vec{u}+\dot{\varphi}\,\vec{z'}</math>,
où les vecteurs apparaissant dans le membre de droite sont les vecteurs unitaires des axes correspondants et les expressions <math>\dot{\psi},\,\dot{\theta},\,\dot{\varphi}</math> sont respectivement les vitesses angulaires de précession, de nutation et de rotation propre. On remarquera que l'expression simple précédente utilise une base non orthogonale.
L'utilisation des angles d'Euler est très générale en mécanique et en astronomie, par exemple pour décrire le mouvement du gyroscope : dans l'animation ci-contre, les vitesses de précession <math>\dot{\psi}</math> et de rotation propre <math>\dot{\varphi}</math> sont constantes et la vitesse de nutation <math>\dot{\theta}</math> est nulle, l'angle de nutation restant constant.
Orientation cristalline
En science des matériaux, les angles d'Euler sont utilisés pour décrire l'orientation cristalline (orientation d'un cristallite par rapport aux axes de l'échantillon), notamment dans le domaine de la texture (orientation préférentielle). Les angles sont alors en général<ref>il s'agit de la notation adoptée par Bunge dans son ouvrage Texture analysis in materials science, une référence dans le domaine</ref> notés (<math>\varphi_1,\Phi,\varphi_2</math>) avec :
- <math>\varphi_1=\psi</math> ;
- <math>\Phi=\theta</math> ;
- <math>\varphi_2=\varphi</math>.
On utilise parfois une autre variante dans laquelle la seconde rotation (nutation) se fait selon l'axe Modèle:Math au lieu de Modèle:Math ; les angles sont alors notés (<math>\Phi,\Theta,\Psi</math>) sans que cela ait un rapport avec les notations des mécaniciens, ce qui n'est pas sans risque de confusion.
