B-spline
En mathématiques, une B-spline est une combinaison linéaire de splines positives à support compact minimal. Les B-splines sont la généralisation des courbes de Bézier, elles peuvent être à leur tour généralisées par les NURBS.
Définition
Étant donné m+1 nœuds ti dans [0, 1] avec Modèle:Retrait une courbe spline de degré <math>n</math> est une courbe paramétrique Modèle:Retrait composée de fonctions B-splines de degré n Modèle:Retrait où les Pi forment un polygone appelé polygone de contrôle ; le nombre de points de contrôle composant ce polygone est égal à m-n.
Les m-n fonctions B-splines de degré n sont définies par récurrence sur le degré inférieur : Modèle:Retrait Modèle:Retrait b_{j + 1, n - 1}(t).</math> }}
Quand les nœuds sont équidistants, c’est-à-dire quand ils sont en progression arithmétique, les B-splines sont dites « uniformes » : c'est le cas des courbes de Bézier qui sont des B-splines uniformes, dont les nœuds ti (pour i entre 0 et m) forment une suite arithmétique de 0 à 1 avec un pas constant 1/m, et où le degré n de la courbe de Bézier ne peut être supérieur à m.
Par extension, lorsque deux nœuds successifs <math>t_j</math> et <math>t_{j+1}</math> sont confondus, on pose <math>\frac{0}{0} = 0</math> : cela a pour effet de définir une discontinuité de la tangente, pour le point de la courbe paramétré par une valeur de t, donc d'y créer un sommet d'angle non plat ; toutefois il est souvent plus simple de définir ce « B-spline étendu » comme l'union de deux B-splines définis avec des nœuds distincts, ces splines étant simplement joints par ce sommet commun, sans introduire de difficulté dans l'évaluation paramétrique ci-dessus des B-splines pour certaines valeurs du paramètre t. Mais cela permet de considérer alors tout polygone simple comme un B-spline étendu.
Propriétés
La forme des fonctions de base est déterminée par la position des nœuds.
La courbe est à l'intérieur de l'enveloppe convexe des points de contrôle.
Une B-spline de degré n Modèle:Retrait est non nulle dans l'intervalle [ti, ti+n+1[ : Modèle:Retrait
En d'autres termes, déplacer un point de contrôle ne modifie que localement l'allure de la courbe.
B-splines en une dimension
Les B-splines peuvent être utilisées comme fonctions de base dans la théorie de l'approximation. La B-spline de degré n est donnée par : Modèle:Retrait où (y)+ est une version étendue de la fonction partie positive : Modèle:Retrait
On reconnaît notamment la spline de degré 0 comme la fonction porte.
Ces fonctions ne sont pas interpolantes, mais leur régularité élevée sur un support compact en font des candidats intéressants dans l'approximation de fonctions<ref>Modèle:Article</ref>.
Références
Liens internes
Liens externes
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Splines: A unifying framework for image processing (tutoriel sur les B-splines)
