Conjugué

Fichier:Complex conjugate picture.svg

Représentation géométrique (diagramme d'Argand) de z et de son conjugué z̅ dans le plan complexe. Le conjugué est obtenu par symétrie par l'axe des réels.

En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe Modèle:Math est le nombre complexe formé de la même partie réelle que Modèle:Math mais de partie imaginaire opposée.

Définition

Le conjugué <math>a - b{\rm i}</math> d'un nombre complexe <math>z = a + b{\rm i}</math>, où Modèle:Math et Modèle:Math sont nombres réels, est noté<ref>Norme ISO/CEI 80000-2 : Modèle:Surligner principalement en mathématiques, z* principalement en physique et sciences de l'ingénieur.</ref><ref>Modèle:Surligner se lit « z barre ».</ref> <math>\bar z</math> ou <math>z^*</math>. Dans le plan, le point d'affixe <math>\bar z</math> est le symétrique du point d'affixe <math>z\,</math> par rapport à l'axe des abscisses. Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

<math>\begin{array}{ccc}\Complex& \longrightarrow &\Complex\\ z & \longmapsto & \overline{z} \end{array}</math>

Cette application est ℝ-linéaire et continue. C'est de plus un automorphisme du corps ℂ.

Propriétés

On prend <math>(z,w)\in \Complex^2</math>.

• <math>\overline{z+w} = \bar z + \bar w</math>
• <math display="inline">\overline{zw} = \bar z \times \bar w</math>
• <math>\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w}</math> si Modèle:Math est non nul
• <math>\operatorname{Im}\left(z\right) = 0</math> si et seulement si <math>\bar z = z</math>
• <math>\left|\bar z\right| = \left|z\right|</math>
• <math>z \overline{z} = \left|z\right|^2</math>
• <math>z^{-1} = {\overline{z} \over {\left|z\right|^2}}</math> pour Modèle:Math non nul.

Quaternions

Le conjugué du quaternion <math>q = a + bi + cj + dk</math> est <math>q^* = a - bi - cj - dk</math>.

Propriété

• <math>q\cdot q^* = a^2+b^2+c^2+d^2\,</math>
• <math>\frac{1}{q} = \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\cdot q^*\,</math>
• On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.

Algèbre linéaire

L'opération de conjugaison peut s'étendre aux espaces vectoriels complexes et à leurs éléments. Elle permet de former des espaces vectoriels conjugués.