Courbe cycloïdale

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Construction d'une épicycloïde

Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une courbe dite directrice. Il s'agit donc d'un cas particulier de roulette.

Classification

Les différents cas particuliers de courbes cycloïdales sont liés à la forme de la directrice. Ainsi, on utilise les termes suivants :

1. lorsque la directrice est un cercle, on parle de cycloïde à centre :
   • lorsque le cercle roulant est à l'extérieur du cercle directeur, c'est une épicycloïde (dont la cardioïde et la néphroïde sont des cas particuliers) ;
   • lorsque le cercle roulant est à l'intérieur du cercle directeur, c'est une hypocycloïde (dont la droite de La Hire, la deltoïde et l'astroïde sont des cas particuliers) ;
2. lorsque la directrice est une droite, on parle de cycloïde droite ou tout simplement de cycloïde.

Définition mathématique

Une courbe cycloïdale peut être définie par deux équations intrinsèques:

• <math> \left[ 1 \right] \quad R_c^2+ \omega ^2 s^2= \omega ^2 A^2</math>
• <math> \left[ 2 \right] \quad s=A \sin( \omega \phi )\,</math>

où <math>R_c\,</math> représente le rayon de courbure et <math>s\,</math> l'abscisse curviligne On retrouve alors les cas particuliers évoqués ci-dessus :

• • <math> \omega = 1\,</math> : cycloïde (A = 4 fois le rayon du cercle roulant)
  • <math>0 < \omega < 1\,</math> : épicycloïde (<math> \omega = \frac{a}{a+2b}, A = \frac{4b(a+b)}{a}\,</math> où a est le rayon du cercle de base, b celui du cercle roulant)
  • <math> \omega > 1\,</math> : hypocycloïde (<math> \omega = \frac{a}{a-2b}, A = \frac{4b(a-b)}{a}\,</math> où a est le rayon du cercle de base, b celui du cercle roulant).

Voir aussi

Articles connexes

• Trochoïde : lorsque le point mobile n'est pas fixé sur le cercle roulant mais à l'extérieur ou à l'intérieur de celui-ci
• Cycloïde, § « Étymologie et histoire »