Courbe quintique

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En mathématiques une courbe quintique est une courbe algébrique plane de degré 5. Elle peut être définie par un polynôme de la forme :

<math>

Ax^5+By^5+Cx^4y+Dxy^4+Ex^3y^2+Fx^2y^3 

      +Gx^4+Hy^4+Ix^3y+Jxy^3+Kx^2y^2
      +Lx^3+My^3+Nx^2y+Oxy^2 
      +Px^2+Qy^2+Rxy 
      +Sx+Ty+U=0
</math>

dont les coefficients sont dans un corps commutatif donné. L'équation a 21 coefficients, mais la courbe ne change pas si on les multiplie tous par une constante non nulle. On peut donc fixer Modèle:Mvar à Modèle:Math et se contenter de 20 coefficients. Il y a donc une infinité de quintiques, et chacune d'elles est identifiée par son passage par 20 points génériques.

Fichier:Curva a 28 bitangenti 2010.jpg
Une courbe quintique à 28 bitangentes

Caractéristiques

Une courbe quintique (n = 5) définie sur le corps des réels et irréductible peut avoir au maximum :

Par ailleurs, les formules de Plücker montrent qu'elle peut avoir au plus :

  • (n – 1)(n – 2)/2 = 6 points doubles ;
  • n(n – 2)(n – 3)(n + 3)/2 = 120 bitangentes, c'est-à-dire de droites qui sont des tangentes à la courbe en 2 points ;
  • 3n(n – 2) = 45 points d'inflexion.

Applications

Les courbes quintiques apparaissent dans l'étude des problèmes de courbes à réaction constante : quelle doit-être la forme de la courbe suivie par un point dans un champ de gravitation de sorte que la réaction du point sur la courbe soit constante ?

Exemples de courbes quintiques définies sur le corps des réels

Modèle:Section à sourcer

  • Courbe de Burnside
    <math>x^5-y^2- x=0</math>
  • Courbe kératoïde
    <math>x^5+x^2y-y^2=0</math>
  • Modèle:Lien
    <math>y^2(y-1)(y-2)(y+5)-(x^2-1)^2=0</math>
  • Courbe en quilles
    <math>25x^5+45y^5+68x^4-155y^4-12x^3+175y^3-35x^2-65y^2+x+4=0</math>
  • Courbe de l'Hospital
    <math> (x^2+y^2)^2(y-2)+y(4x^4+x^2+y^2)=0</math>
  • Courbe de Mutasci
    <math>x^4(x-1)+y^4(y-1)-xy=0</math>
  • Courbe sinusoïdale
    <math>x^5+y^5-x=0</math>
  • Maracas de Chioppa
    <math> 4y^5+24x^4y+35x^2y^3-21x^4-45x^2y^2-40y^3-46x^2y-13y^2+57y+36 = 0 </math>
  • Butterfly Catastrophe
    <math>

36864y^5+84375x^4-24576a^2y^4+144000ax^2y^2+4096a^4y^3-86400a^3x^2y+13824a^5x^2=0 </math>

  • Courbe à bulbe
    <math>y^5+5(x^4-y^4-1)=0</math>
  • Feuille de Patarino
    <math>x^2(13y^3-5x^2+33y^2+36y+14)+y(2x^4+5y^4+15y^3+12y^2-10y-16)-5 = 0</math>
  • Courbe en tulipe
    <math>x^2(9x^2-8y^3+4y^2+8)+y(9x^4+3y^4-7y^3+4y^2+5y-8)-5 = 0 </math>
  • Courbe en gouttes
    <math> 5y^5 - x^4 - 2y^3 + 2x^2 - 1 = 0</math>
  • Courbe à point triple
    <math> x^5+y^5+xy(x-y)=0 </math>
  • Impulsion unique
    <math>y^5 + 100x^4y + 20x^2y^3 - 100x + 10y - 1000 = 0</math>
  • Double impulsion
    <math> y^5 + 100x^4y + 20x^2y^3 + 100x = 0 </math>
  • Courbe à trois nœuds coulants
    <math>(x^2-y^2)(y^2-1)(2y-3)-y(x^2+y^2-2y)^2=0 </math>
  • Courbe avec deux points de rebroussement et deux croisements
    <math> x^2(x^2-2)+2y^2(y^3+y^2-1)+2x^2y(x^2-y^2-1)+1=0 </math>
  • Courbe à 36 bitangentes
    <math>20y(x^2+y^2-1)(5x^2+y^2-2)+1 = 0</math>
  • Courbe avec 10 inflexions
    <math>x (xy^3-14xy+1)+y(y^4+10x^4-6y^2+4) = 0</math>
  • Courbe à six composantes connexes
    <math>(7y^3-6x^2y-8x^2+7y^2+4)(10x^2+6y^2+4y-9)-1 = 0</math>
  • Courbe à six croisements
    <math>4x^2(3x^3+2x^2-13x+8)-36y^2(y^3-2y^2-4y+8)+3x^2y^2(11x-10y+39)-2xy(2x^3-18y^3+29x^2+57y^2+59x+3y-90) = 0 </math>

Illustrations

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Modèle:Portail

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