Dimension topologique

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, une dimension topologique est une notion destinée à étendre à des espaces topologiques la notion algébrique de dimension d'un espace vectoriel. C'est un invariant topologique, entier ou infini.

Les trois principales dimensions topologiques sont les deux dimensions inductives Modèle:Math et Modèle:Math et la dimension de recouvrement Modèle:Math. Les dimensions Modèle:Math et Modèle:Math coïncident pour tout espace métrisable ; si l'espace est de plus séparable, ses trois dimensions topologiques sont égales<ref>Modèle:Ouvrage, généralisé Modèle:P..</ref>. Ces « bons espaces » incluent en particulier les variétés topologiques et a fortiori les variétés différentielles. La dimension topologique n'est pas vraiment l'outil adapté à des applications pratiques, pour lesquelles on lui préfère la notion de dimension fractale.

Dimensions inductives

La petite dimension inductive Modèle:Math, ou dimension de Urysohn-Menger, et la grande dimension inductive Modèle:Math, ou dimension de Čech, seront définies par récurrence à partir de la notion suivante<ref>Modèle:Citation étrangère : Modèle:Harvsp.</ref> : on dira qu'un fermé sépare deux parties A et B si son complémentaire est la réunion de deux ouverts disjoints dont l'un contient A et l'autre contient B.

Espace de dimension n

On définit la valeur de Modèle:Math pour tout espace régulier<ref group=N>Ou (plus rarement) : pour tout espace vérifiant l'axiome de séparation T₃ mais pas nécessairement l'axiome T₀.</ref> Modèle:Math et de Modèle:Math pour tout espace normal<ref group=N>Ou (plus rarement) : pour tout espace vérifiant T₄ mais pas nécessairement T₁.</ref> Modèle:Math par l'ensemble de ses majorants :

• Modèle:Math
• pour Modèle:Math :
  • Modèle:Math si (dans Modèle:Math) un point et un fermé ne contenant pas ce point sont toujours séparés par un sous-espace Modèle:Math tel que Modèle:Math<ref>Modèle:Harvsp.</ref><ref>Modèle:Ouvrage, dans le cas d'un espace normal.</ref> ;
  • Modèle:Math si (dans Modèle:Math) deux fermés disjoints sont toujours séparés par un sous-espace Modèle:Math tel que Modèle:Math<ref name=E52>Modèle:Harvsp.</ref><ref>Modèle:Harvsp.</ref>.

Remarques

• Pour tout espace normal Modèle:Math, Modèle:Math<ref name=E52/>, d'où les notations Modèle:Math et Modèle:Math et les qualificatifs de petite et grande.
• Pour tout sous-espace Modèle:Math de Modèle:Math, on a Modèle:Math.
• On obtient la même<ref>Modèle:Harvsp.</ref><ref>Modèle:Ouvrage.</ref> fonction Modèle:Math sur les espaces réguliers lorsqu'on remplace sa définition récursive par :Modèle:Math si les ouverts Modèle:Math tels que Modèle:Math forment une base de Modèle:Math,où Modèle:Math désigne la frontière de Modèle:Math.
• De même<ref group=N>Rappelons que dans tout espace topologique, un ensemble de parties est une base si et seulement si pour tout point x, celles de ces parties qui contiennent x forment une base de voisinages de x.</ref>, la condition ci-dessus pour Modèle:Math peut être remplacée (pour Modèle:Math normal) par : pour tout fermé F, les ouverts Modèle:Math contenant F et tels que Modèle:Math forment une base de voisinages de F<ref name=E52/>.

Espace de dimension zéro

Un espace topologique non vide est dit « de dimension zéro<ref>Ou Modèle:Citation étrangère dans Modèle:Ouvrage, qui réserve le terme « dimension » à la dimension de recouvrement. Mais pour la plupart des auteurs, Modèle:Citation étrangère signifie « espace dispersé », qui est une autre notion Modèle:Harv.</ref> » s'il possède une base d'ouverts-fermés ; un tel espace vérifie l'axiome T₃<ref name=SS/>.

Les espaces de dimension zéro sont donc exactement les espaces T₃ pour lesquels Modèle:Math (d'après la définition ci-dessus en termes de base d'ouverts).

Propriétés

• Un espace de Lindelöf Modèle:Math non vide et de dimension zéro vérifie même (T₄<ref group=N>Tout espace T₃ et de Lindelöf est T₄.</ref> et) Modèle:Math<ref>Modèle:Harvsp ; Modèle:Harvsp et, pour une classe plus vaste (les espaces « fortement paracompacts »), Modèle:P..</ref>.
• Pour tout espace Modèle:Math non vide, Modèle:Math si et seulement si Modèle:Math<ref>Modèle:Harvsp.</ref>.
• Tout produit d'espaces de dimension zéro est de dimension zéro<ref name=Coornaert>Modèle:Harvsp.</ref>.
• Un espace régulier de dimension zéro est totalement discontinu<ref group=N>C'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons.</ref><ref name=SS>Modèle:Ouvrage.</ref>(la réciproque est fausse ; l’Modèle:Lien est un contre-exemple)

Exemples

• Tous les espaces (séparés) localement compacts totalement discontinus — en particulier les espaces discrets — sont de dimension zéro<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
• Une partie non vide de R est de dimension zéro si et seulement si elle est d'intérieur vide<ref name=Coornaert/> (comme Q, R\Q ou le compact de Cantor, ces deux derniers étant d'ailleurs homéomorphes à des produits d'espaces discrets : N^N et {0, 1}^N).
• Il existe un espace compact de dimension zéro contenant un sous-espace Modèle:Math tel que Modèle:Math<ref>Modèle:Article, complété par une remarque de Modèle:Harvsp.</ref>.

Exemples

• La dimension de tout ouvert non vide de Rⁿ est n<ref group=N>Ce fait est à rapprocher du théorème de l'invariance du domaine de Brouwer.</ref>.
• Un arc de Jordan rectifiable dans Rⁿ est de dimension 1, une portion de surface régulière est de dimension 2, etc.

Propriétés

• Pour tout espace Modèle:Math de Lindelöf, Modèle:Math (inégalités d'Aleksandrov) et si Modèle:Math alors Modèle:Math<ref name=Filippov>Modèle:Chapitre.</ref><ref>Modèle:Harvsp, le démontre même pour les espaces « fortement paracompacts ».</ref><ref group=N>Ceci complète deux résultats ci-dessus sur les espaces de dimension zéro.</ref>. À partir de Modèle:Math, les trois dimensions peuvent être distinctes : pour tout entier Modèle:Math, il existe un compact Modèle:Math tel que Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math<ref name=Filippov/>.
• Pour tout espace normal Modèle:Math, si Modèle:Math est fermé dans Modèle:Math alors Modèle:Math<ref>Modèle:Harvsp.</ref>, mais il existe des contre-exemples si Modèle:Math n'est pas fermé (cf. § « Espace de dimension zéro » ci-dessus).
• Il existe un compact Modèle:Math réunion de deux fermés Modèle:Math et Modèle:Math tels que Modèle:Math mais Modèle:Math<ref>Modèle:Harvsp.</ref>.
• Cependant, si Modèle:Math est un espace parfaitement normal, alors<ref group=N>Théorème dû à Dowker, qui suppose seulement que Modèle:Math est « totalement normal ». C'est un axiome de séparation intermédiaire entre « parfaitement normal » et « complètement normal ».</ref><ref>Cité dans Modèle:Article.</ref> :
  • pour tout sous-espace Modèle:Math de Modèle:Math, on a Modèle:Math ;
  • si Modèle:Math est réunion d'une suite de fermés Modèle:Math alors Modèle:Math =<ref>Preuve (en termes de Modèle:Math) dans le cas où Modèle:Math est métrisable et séparable : Modèle:Harvsp.</ref> Modèle:Math.
• Il existe :
  • des espaces normaux dont le produit n'est pas normal ;
  • des compacts Modèle:Math et Modèle:Math tels que Modèle:Math et Modèle:Math mais Modèle:Math<ref>V. V. Filippov (1972), cité dans Modèle:Article et dans Modèle:Article.</ref> ;
  • un espace de Lindelöf Modèle:Math de dimension zéro tel que Modèle:Math soit normal et Modèle:Math<ref>Modèle:Article.</ref>.
• Cependant, Modèle:Math (pour Modèle:Math et Modèle:Math non tous deux vides) dès que Modèle:Math est parfaitement normal et Modèle:Math est métrisable<ref>Modèle:Article.</ref><ref>Modèle:Harvsp et (en termes de Modèle:Math) dans le cas particulier où Modèle:Math et Modèle:Math sont métrisables et séparables Modèle:P..</ref> (mais l'inégalité peut être stricte : il existe même<ref>Modèle:Article.</ref> un espace métrisable séparable Modèle:Math homéomorphe à Modèle:Math et de dimension 1).

Dimension de recouvrement

Définition

La dimension de recouvrement de Lebesgue, Modèle:Math, se définit de même par ses majorants mais sans récurrence : Modèle:Math si tout recouvrement ouvert fini de Modèle:Math admet un recouvrement ouvert fini plus fin tel que chaque point de Modèle:Math appartient à au plus Modèle:Math ouverts de ce dernier recouvrement.

Propriétés

• Pour tout espace normal Modèle:Math, Modèle:Math<ref>Modèle:Harvsp.</ref>.
• Pour tout espace métrisable Modèle:Math, Modèle:Math<ref>Modèle:Harvsp : théorème de Katětov-Morita.</ref>, l'inégalité pouvant être stricte<ref>Modèle:Article et Modèle:Article.</ref>.
• Un espace normal Modèle:Math vérifie Modèle:Math si et seulement si toute application continue d'un fermé de Modèle:Math dans la sphère Sⁿ peut se prolonger à E<ref>Modèle:Harvsp.</ref>.
• Modèle:Refnec

Lien avec la dimension de Hausdorff

La dimension de Hausdorff d'un espace métrisable dépend spécifiquement de la distance utilisée. La dimension topologique d'un espace métrisable séparable E est le minimum des dimensions de Hausdorff de E pour toutes les distances sur E compatibles avec sa topologie<ref>Modèle:Article.</ref>.

La définition de fractale initialement donnée par Benoît Mandelbrot est celle d'un espace métrique dont la dimension topologique est strictement inférieure à la dimension de Hausdorff<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>, mais il l'a rapidement remplacée par une définition plus vague, permettant d'inclure par exemple la courbe de Hilbert.