Dipôle électrostatique d'une boule
Soit une boule, de rayon R, de polarisation uniforme, donc de moment dipolaire <math>\vec{p} = Vol \cdot \vec{P}</math>. Le champ électrique créé par cette boule est le même que celui d'une sphère chargée en surface par une densité surfacique de révolution <math>\sigma(\theta) = P cos\theta</math>.
Champ et potentiel créés
Il est extraordinaire de constater que cela est vrai pour tout r > R !
- <math>\vec{E}(M) = \frac{p}{4\pi\epsilon_0r^3}\cdot\bigl(2\cos\theta\vec{u_r} + \sin \theta \vec{u_\theta}\bigr) = \frac{P}{3\epsilon_0} \frac{R^3}{r^3}\cdot\bigl(2\cos\theta\vec{u_r} + \sin \theta \vec{u_\theta}\bigr)</math>
ou encore :
- <math>\vec{E}(M)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot r^3}\cdot\bigl(3 \vec{u_r}(\vec{p} \cdot \vec{u_r}) - \vec{p}\bigr) = \frac{R^3}{\epsilon_0\cdot r^3}\cdot\bigl( \vec{u_r}(\vec{P} \cdot \vec{u_r}) - \frac{1}{3}\vec{P}\bigr)</math>
Pour r < R, le champ est uniforme :
- <math> \vec{E_0} = - \vec{P}/3\epsilon_o = \frac{P}{3\epsilon_0} \cdot\bigl( - cos\theta\vec{u_r} + \sin \theta \vec{u_\theta}\bigr)</math>
Le diagramme électrique est donc évident à tracer.
On obtient donc les potentiels suivants :
(r>R) :<math>V(M)=\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^3} = \frac{R^3}{r^3} \frac{\vec{P}\cdot\vec{r}}{3 \varepsilon_0} </math>
(r<R) :<math> V(M)= \frac{\vec{P}\cdot\vec{r}}{3\epsilon_o}</math>
Démonstration
On peut faire le calcul ; mais la démonstration la plus rapide est "bluffante" : la solution existe et est unique ; il suffit donc de vérifier que div E = 0 et rot E = 0, et que les conditions limite à l'infini sont réalisées (c'est exact) et sur la sphère aussi :
- <math> E_{ext} - E_{int} = \frac{P cos(\theta)}{\epsilon_o}. \vec{u_r} = \frac{\sigma (P)}{\epsilon_o}.\vec{n} (P) </math>(c'est exact aussi).
Cas-limite R tendant vers zéro
On a, à ce moment-là, pour le petit volume V, où l'intégrale du champ vaut Vol.Eo = - P/3<math>\epsilon_o</math> par -4<math>\pi/3</math>.p. <math>\delta(r)</math>.
Au total <math>\vec{E}(M) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o} [ \frac{1}{r^3}( 3(\vec{p}\vec{u})\vec{u} - \vec{p}) -\frac{4 \pi}{3}\vec{p} \cdot \delta(r)</math>]
