Distance entre deux points sur le plan cartésien

Fichier:Euclidean distance 2d.svg

Utilisation du théorème de Pythagore pour calculer la distance euclidienne entre deux points du plan.

Dans le plan cartésien, les points sont définis à l'aide de leurs coordonnées cartésiennes.

Soient <math>A</math> et <math>B</math> deux points dans le plan cartésien, <math>(x_A, y_A)</math> les coordonnées du point <math>A</math> et <math>(x_B, y_B)</math> les coordonnées du point <math>B</math>. Alors la distance <math>AB</math> sur le plan vaut :

<math>AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}.</math>

Démonstration

Soit <math>C</math> le point de coordonnées <math>(x_A,y_B)</math>.

<math>x_A = x_C \Rightarrow AC = |y_C-y_A|</math> et <math>(AC)</math> est verticale ;

<math>y_B = y_C \Rightarrow BC = |x_C-x_B|</math> et <math>(BC)</math> est horizontale ;

donc <math>(AC)\perp(BC)</math>.

D'après le théorème de Pythagore,

<math>\begin{align} AB^2 &= BC^2+AC^2\\

&= |x_C-x_B|^2 + |y_C-y_A|^2\\ &= |x_A-x_B|^2 + |y_B-y_A|^2\\ &= (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2\end{align}</math> donc

<math>AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}.</math>

Voir aussi

La notion de distance en mathématiques