Droite d'Euler
En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler est une droite passant par plusieurs points remarquables du triangle, dont l'orthocentre, le centre de gravité (ou isobarycentre) et le centre du cercle circonscrit.
Cette notion s'étend au quadrilatère et au tétraèdre.
Présentation
Euler établit en 1765 que dans un triangle non équilatéral Modèle:Math, l'orthocentre Modèle:Mvar, le centre de gravité (ou isobarycentre) Modèle:Mvar et le centre du cercle circonscrit Modèle:Mvar sont alignés, et détermine les relations de proportionnalité entre les distances : Modèle:Math et Modèle:Math<ref>Modèle:Ouvrage sur le site de Euler Archive, rem page 114.</ref>. La droite Modèle:Math passe également par le centre Modèle:Math du cercle des neuf points, milieu du segment Modèle:Math, ainsi que par d'autres points remarquables du triangle<ref>Modèle:MathWorld</ref>. Les quatre points Modèle:Math sont confondus pour un triangle équilatéral (et sinon, ils sont tous distincts).
Parmi les autres points remarquables, on peut citer le point de Longchamps, le point de Schiffler, le point d'Exeter et le perspecteur de Gossard.
En revanche, elle ne passe pas par le centre du cercle inscrit dans le triangle, sauf si celui-ci est isocèle. Dans ce cas, la droite d'Euler est l'axe de symétrie du triangle.
Détermination
Relation vectorielle d'Euler
La relation vectorielle d'Euler : Modèle:Retrait exprime à la fois l'alignement de <math>H,G,O</math> et leur disposition mutuelle. Modèle:Démonstration
Représentations
Équation
On note <math>\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}</math> les angles aux sommets du triangle de référence, et on considère un point M de coordonnées trilinéaires (x : y : z). L'équation de la droite d'Euler s'écrit alors
- <math>\sin (2\hat{A}) \sin(\hat{B} - \hat{C})x + \sin (2\hat{B}) \sin(\hat{C}
- \hat{A} )y + \sin (2\hat{C}) \sin(\hat{A} - \hat{B})z = 0.</math>
En coordonnées barycentriques <math>(\alpha,\beta,\gamma)</math>, l'équation s'écrit <ref>Modèle:Article.</ref>
- <math>(\tan \hat{C} -\tan \hat{B})\alpha +(\tan \hat{A} -\tan \hat{C})\beta + (\tan \hat{B} -\tan \hat{A})\gamma =0.</math>
Représentation paramétrique
On sait que le centre du cercle circonscrit a pour coordonnées trilinéaires Modèle:Math et que celles de l'orthocentre sont Modèle:Math. Ainsi, tout point de la droite d'Euler différent de l'orthocentre a pour coordonnées trilinéaires :
- <math>(\cos \hat A + t \cos \hat B \cos \hat C : \cos \hat B + t \cos \hat C \cos \hat A
- \cos \hat C + t \cos \hat A \cos \hat B)</math>
avec Modèle:Mvar réel.
Ainsi, on obtient :
- le centre du cercle circonscrit pour Modèle:Math,
- le centre de gravité, de coordonnées Modèle:Math, pour Modèle:Math,
- le centre du cercle d'Euler, de coordonnées Modèle:Math, pour Modèle:Math,
- le point de Longchamps, de coordonnées Modèle:Math, pour Modèle:Math.
Longueurs des segments
Les longueurs des différents segments s'expriment en fonction des trois côtés du triangle et du rayon du cercle circonscrit : Modèle:Retrait et donc, d'après la relation d'Euler ci-dessus, Modèle:Retrait
où <math>(a,b,c)=(BC,CA,AB)</math> et <math>R</math> est le rayon du cercle circonscrit à <math>(ABC)</math><ref>La preuve donnée ici est inspirée de celle donnée par Alexander Bogomolny sur la page Sum of Squares of Distances to Vertices de Cut The Knot.</ref>,<ref>Une autre preuve, faisant appel aux nombres complexes, est proposée par Bogomolny sur la page Distance between the Orthocenter and Circumcenter</ref>.
Comme de plus, <math>R^2={a^2b^2c^2 \over {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}</math> , <math>OG, OH \text{ et } GH</math> s'expriment comme fonctions symétriques des longueurs a, b et c.
Extension au tétraèdre
Le tétraèdre possède aussi une droite remarquable, désignée par analogie "droite d'Euler". Elle est définie pour un tétraèdre non équifacial par les trois points suivants :
- le centre de gravité Modèle:Mvar, point d'intersection des quatre droites joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée, ainsi que des trois droites joignant les milieux de deux arêtes opposées
- le point de Monge Modèle:Mvar, intersection des six plans orthogonaux à une arête et passant par le milieu de l'arête opposée <ref>Point de Monge d'un tétraèdre.</ref>
- le centre de la sphère circonscrite Modèle:Mvar.
Le centre de gravité est le milieu du segment joignant centre de la sphère circonscrite au point de Monge <math>(\overrightarrow{O M} = 2\overrightarrow{O G})</math>.
Il existe aussi une sphère des douze points, ou première sphère d'Euler, dont le centre <math>\Omega</math> se trouve sur la droite d'Euler <math>(\overrightarrow{O \Omega} = \frac23\overrightarrow{O M})</math>.
Références
Modèle:Traduction/Référence <references responsive="1" group=""></references>
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
- Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage et Mounet, 2009 Modèle:ISBN
- Petite encyclopédie de mathématique, Didier
- Modèle:Ouvrage
- Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, Calvage et Mounet Modèle:ISBN
