Fenêtre de lancement
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En astronautique, une fenêtre de tir, ou fenêtre de lancement, est un intervalle de temps au cours duquel sont réunies les conditions optimales pour le lancement d'une fusée.
La navigation spatiale, entre des emplacements mobiles, étant essentiellement balistique, il convient de lancer dans la bonne direction, au bon moment et avec le bon delta-v sous peine de devoir faire des corrections coûteuses en carburant.
Calcul
Soit la Terre supposée sphérique. Le champ gravitationnel est donc central et en <math>\scriptstyle{ 1/r^2 }</math>. L'orbite d'un satellite suivra les lois de Kepler. Pour mettre un satellite en orbite circulaire à la distance <math>\scriptstyle{ r_0 }</math>, il faut une vitesse initiale <math>\scriptstyle \vec {v_0}</math> perpendiculaire à <math>\scriptstyle{ \vec{OM_0}}</math> et de module <math>\scriptstyle{ v_0 }</math> telle que <math>\scriptstyle{ \frac {v_0^2} {r_0} = g \frac {R^2} {r_0^2}}</math> soit
dans laquelle <math>\scriptstyle { v_1 = \sqrt {gR}}</math> est la première vitesse cosmique <math>\scriptstyle { v_1 = 7,9 km/s = 28500 km/h}</math> pour la Terre, ou vitesse de Schuler, c'est-à-dire la vitesse, toute théorique, à laquelle il faudrait lancer un satellite pour qu'il se mette en orbite au ras du sol.
En fonction de l'altitude <math>\scriptstyle h </math>, définie par <math>\scriptstyle { r_0 = R + h}</math>, la vitesse sur l'orbite circulaire s'exprime par
Par exemple:
- <math>\scriptstyle{ h \approx 100 km} </math> pour les satellites militaires et d'observation : <math>\scriptstyle{ v_0 \approx 8 km/s \approx 29600 km/h} </math>
- <math>\scriptstyle{ h \approx 800 km} </math> pour Jason et Spot, les satellites héliosynchrones : <math>\scriptstyle{ v_0 \approx 8,4 km/s \approx 30200 km/h} </math>
Il s'agit alors d'évaluer l'effet d'une erreur sur la vitesse, en module ou en direction, en particulier du risque que le satellite ne s'écrase dans l'atmosphère. C'est le problème dit de la fenêtre de tir.
Bonne direction, mauvaise vitesse
Si le satellite est lancé dans la bonne direction, mais avec une vitesse trop grande, alors il est largué au périgée. Il est à la distance minimale de la Terre et ne tombera plus.
Si le satellite est lancé dans la bonne direction, mais avec une vitesse réelle <math>\scriptstyle v</math> plus petite que la vitesse nominale <math>\scriptstyle v_0</math>, il est alors largué à l'apogée. Il faut que le périgée, à l'opposé de la trajectoire, soit à une distance supérieure au rayon terrestre <math>\scriptstyle R</math>, autrement dit, que le grand axe <math>\scriptstyle{2a > R+r_0}</math>.
On rappelle la formule donnant l'énergie mécanique de l'orbite limite <math>\scriptstyle{ E = - m g \frac {R^2} {2a} = \frac 1 2 m v^2 - m g \frac {R^2} {r_0} }</math>.
On doit donc avoir <math>\scriptstyle{ \frac 1 2 m v^2 > m g R^2 \left ( \frac 1 {r_0} - \frac 1 {R+r_0} \right ) = m g \frac {R^3} {r_0 \left( R+r_0 \right)} = m g \frac {R^2} {r_0}\frac R {R+r_0} = m v_0^2 \frac R {2 R + h} = \frac 1 2 m v_0^2 \frac 1 {1 + h / {2R} }}</math>. Autrement dit, on doit avoir
.
Pour <math>\scriptstyle{ h = 800 km }</math>, la vitesse réelle ne doit pas être inférieure à <math>\scriptstyle {\frac {800} {4R} = 3 \% }</math> de la vitesse nominale. Et pour <math>\scriptstyle{ h = 100 km }</math>, la tolérance tombe à <math>\scriptstyle {0,4 \%}</math> !
Bonne vitesse, mauvaise direction
Bon module, donc bonne énergie, donc 2a = 2r°. Donc M° est l'extrémité B du petit axe, qui se projette au centre C de l'ellipse, sur la droite parallèle à V°, passant par O : donc l'excentricité e vaut sin<math>\alpha</math> : le périgée sera à OP = a − c = r°(1 − sin<math>\alpha</math>).
Soit sin<math>\alpha</math> < h/R, donc <math>\alpha</math> < (~h/R) (= 1/8 rd = 7° pour Spot) et ~1° pour h = 100 km : c'est une petite fenêtre de tir, sans gravité : on sait pointer à mieux que le demi-degré.
Référence
- Droit français : arrêté du Modèle:Date- relatif à la terminologie des sciences et techniques spatiales.
- Modèle:Crédit d'auteurs
