Formule de Brahmagupta
En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, portant le nom du mathématicien indien du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets se situent sur un même cercle), uniquement en fonction des longueurs de ses côtés :
- <math>S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math>
où <math>p = \frac 12 (a+b+c+d) \,</math> est le demi-périmètre du quadrilatère, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont les longueurs de ses côtés et Modèle:Mvar son aire <ref>Modèle:Ouvrage</ref>.
Elle représente un cas particulier de la formule de Bretschneider donnant l'aire d'un quadrilatère non forcément inscriptible, concave ou convexe mais non croisé.
Démonstration
En suivant les notations de la figure, l'aire Modèle:Mvar du quadrilatère inscriptible est la somme des aires des triangles Modèle:Math et Modèle:Math :
- <math>S= \frac{1}{2}ab\sin \widehat A + \frac{1}{2}cd\sin \widehat C</math>
mais comme Modèle:Math est inscriptible, les angles en Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont supplémentaires et ont le même sinus, par suite : <math>S = \frac{1}{2}(ab + cd)\sin \widehat A</math>
d'où en élevant au carré :
- <math>4S^2 = (ab+ cd)^2 - \cos^2 \widehat A (ab+ cd)^2 \,</math>
En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux triangles Modèle:Math et Modèle:Math et en égalant les expressions du côté commun Modèle:Mvar, on obtient :
- <math>a^2 + b^2 - 2ab\cos \widehat A = c^2 + d^2 - 2cd\cos \widehat C \,</math>
ce qui s'écrit puisque les angles en Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont supplémentaires :
- <math>2\cos \widehat A (ab + cd) = a^2 + b^2 - c^2 - d^2. \,</math>
En reportant dans la formule précédente, on obtient :
- <math>\begin{align}16S^2 &= 4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 \\
&=(2(ab + cd) + a^2 + b^2 -c^2 - d^2)(2(ab + cd) - a^2 - b^2 + c^2 +d^2)\\ &= ( (a+b)^2 - (c-d)^2 )( (c+d)^2 - (a-b)^2 )\\ &= (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d). \end{align}</math>
En introduisant <math>p = \frac{a+b+c+d}{2}</math>, on obtient :
- <math>16S^2 = 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) \,</math>
d'où
- <math>S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.</math>
Cas particuliers
- Le carré correspond au cas <math>b=c=d=a,\quad p=2a</math> et <math>S = \sqrt{a^4} = a^2\,</math>
- Le rectangle correspond au cas <math>a=b=L,\quad c=d=l,\quad p=(L+l)</math> et <math>S = \sqrt{L^2\cdot l^2} = L\cdot l\,</math>
- Le triangle correspond au cas <math>d=0\quad</math> : on retrouve alors la formule de Héron.
Notes et références
Voir aussi
- Théorème de Brahmagupta (autre propriété du quadrilatère inscriptible)
- Identité de Brahmagupta (en arithmétique)
