Lemme de Gauss (théorie des nombres)

Modèle:Voir homonymes Le lemme de Gauss en théorie des nombres donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier soit un résidu quadratique modulo un nombre premier. Il a été introduit et démontré par Gauss dans ses preuves de la loi de réciprocité quadratique<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} C. F. Gauss, « Theorematis arithmetici demonstratio nova », Comment. Soc. regiae sci. Göttingen, XVI, 1808.</ref><ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} C. F. Gauss, « Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae », 1818.</ref> et est utilisé dans plusieurs des nombreuses preuves ultérieures de cette loi<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Énoncé

Soient <math>p</math> un nombre premier impair et <math>a</math> un entier non divisible par <math>p</math>. Alors

<math>\left(\frac ap\right) = (-1)^n</math>,

où <math>\left(\frac ap\right)</math> est le symbole de Legendre et <math>n</math> est défini de la façon suivante :

ou encore, de façon équivalente :

Application

La deuxième « loi complémentaire » de la loi de réciprocité quadratique se déduit du lemme de Gauss<ref>Voir par exemple Modèle:Ouvrage, repris dans le lien ci-dessous vers la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.</ref>.

Preuve

Une preuve assez simple de ce lemme<ref>Voir par exemple Modèle:Ouvrage, repris dans le lien ci-dessous vers la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.</ref> utilise le même principe que l'une des démonstrations du petit théorème de Fermat, en évaluant de deux façons le produit modulo p de ces (p – 1)/2 entiers.

Autre preuve, par la théorie du transfert

De par sa définition, l'application qui à a associe (–1)ⁿ est un morphisme de transfert du groupe abélien G = (ℤ/pℤ)* dans le sous-groupe Q = {–1, +1}. D'après le théorème d'évaluation du transfert, on en déduit que l'image de a par ce morphisme est égale à a^m où m désigne l'indice de Q dans G, c'est-à-dire m = (p – 1)/2, ce qui conclut.

Voir aussi

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