Lemme de Schwarz

Le lemme de Schwarz est un lemme d'analyse complexe, donnant des contraintes sur les fonctions holomorphes du disque unité dans lui-même. Il ne faut pas le confondre avec un autre résultat d'analyse complexe, le Modèle:Lien.

Énoncé

Soit <math>f</math> une fonction holomorphe dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon 1, et telle que :

• <math>f(0)=0</math>
• <math>\forall z \in\mathrm D\quad|f(z)|\leq 1</math>.

Alors on a :

<math>|f(z)|\le|z|</math> pour tout <math>z</math> appartenant à D et <math>|f'(0)|\leq 1</math>.

Si, de plus, il existe un élément non nul <math>z_0</math> de D vérifiant <math>|f(z_0)|=|z_0|</math>, ou bien si <math>|f'(0)|=1</math>, alors il existe un nombre complexe <math>a</math> de module 1 tel que <math>f(z)=az</math> pour tout <math>z</math> appartenant à <math>D</math>.

Preuve

La preuve<ref>Modèle:Harvsp.</ref> est une application directe du principe du maximum.

Appliquons le principe du maximum à la fonction

<math>g(z) = \begin{cases}

 \frac{f(z)}z& \mbox{si }z\ne0 \\
 f'(0) & \mbox{si } z = 0,

\end{cases}</math>

holomorphe sur D (l'holomorphie en 0 provient du fait que f(0) = 0 et du fait que f est développable en série entière). Pour tout r < 1, si Modèle:Surligner = {z : |z| ≤ r} désigne le disque fermé de rayon r > 0 centré en l'origine, la fonction |g| sur Modèle:Surligner atteint son maximum en un point du bord de Modèle:Surligner. Étant donné z appartenant à D, il existe donc, pour tout r ∈ ]|z|, 1[, un complexe z_r de module r tel que

<math> |g(z)| \le \underset{\overline{D_r}}\max|g(z)|= |g(z_r)| = \frac{|f(z_r)|}{|z_r|}\le \frac1r</math>.

Lorsque <math>r \rightarrow 1</math>, on obtient <math>|g(z)| \leq 1</math>.

Supposons maintenant que |f(z₀)| = |z₀| pour z₀ non nul dans D, ou supposons que |f′(0)| = 1. Alors, |g(z₀)| = 1 ou |g(0)| = 1 par définition de g. Ainsi, par le principe du maximum, g(z) est égale à une constante a

avec |a| = 1. Finalement, f(z) = az, comme voulu.

Lemme de Schwarz-Pick

Une variante du lemme de Schwarz est le lemme de Schwarz-Pick<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>, nommé en l'honneur de Georg Pick, permettant de déterminer les automorphismes analytiques du disque unité<ref>Modèle:Harvsp.</ref> :

Modèle:Démonstration/début La preuve du lemme de Schwarz-Pick est une conséquence du lemme de Schwarz et du fait qu'une transformation de Möbius de la forme

<math>\frac{z-z_0}{\overline{z_0}z-1}, \qquad |z_0| < 1</math>

envoie le disque unité dans lui-même. Fixons z₁ et posons

<math>M(z)=\frac{z_1-z}{1-\overline{z_1}z}, \qquad \varphi(z)=\frac{f(z_1)-z}{1-\overline{f(z_1)}z}</math>

où M et φ sont des transformations de Möbius. Puisque M(z₁) = 0 et que la transformation de Möbius est inversible, la composée φ(f(M⁻¹(z))) envoie 0 sur 0 et le disque unité dans lui-même. Ainsi, on peut appliquer le lemme de Schwarz, ce qui nous donne

<math>\left |\varphi\left(f(M^{-1}(z))\right) \right|=\left|\frac{f(z_1)-f(M^{-1}(z))}{1-\overline{f(z_1)}f(M^{-1}(z))}\right| \le |z|</math>.

Maintenant, en posant z₂ = M⁻¹(z) (qui appartient au disque unité), on arrive à l'inégalité voulue :

<math>\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right| \le \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right|</math>.

Afin de prouver la seconde partie, divisons par |z₁ – z₂| l'inégalité obtenue

<math>\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{z_1-z_2}\right|\left|\frac1{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right| \le \left|\frac1{1-\overline{z_1}z_2}\right|</math>.

En faisant tendre z₂ vers z₁, on obtient la seconde inégalité du lemme. Modèle:Démonstration/fin

L'expression

<math> d(z_1,z_2)=\tanh^{-1} \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right| </math>

est une distance au sens de la métrique de Poincaré. Le lemme de Schwarz-Pick nous donne que toute fonction holomorphe du disque unité dans lui-même réduit la distance entre deux points au sens de la métrique de Poincaré. Si l'égalité a lieu dans l'une des deux inégalités du lemme (ce qui est équivalent à dire que l'application holomorphe f préserve la distance dans la métrique de Poincaré), alors f est un automorphisme analytique, donné par une transformation de Möbius envoyant le disque unité vers lui-même.

Un énoncé équivalent sur le demi-plan de Poincaré H peut être fait :

C'est une conséquence directe du lemme de Schwarz-Pick : en utilisant le fait qu'une transformation de Cayley W(z) = (z − i)/(z + i) est une application conforme envoyant le demi-plan supérieur H vers le disque unité D, on obtient que l'application W ∘ f ∘ W⁻¹ est holomorphe et envoie D sur D. En appliquant le lemme de Schwarz-Pick à la fonction W ∘ f ∘ W⁻¹ et en utilisant l'expression explicite de W, on arrive au résultat voulu. De même, pour tout z ∈ H,

<math>\frac{\left|f'(z)\right|}{\text{Im}(f(z))} \le \frac1{\text{Im}(z)}</math>.

Si l'égalité a lieu pour l'une de deux inégalités précédentes, alors f est une transformation de Möbius à coefficients réels, c'est-à-dire

<math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math>

avec a, b, c, d ∈ R, et ad − bc > 0.

Bibliographie

• Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006
• Modèle:Cartan1
• Modèle:Rudin

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence <references />

Modèle:Portail