Méthode de Bézout
La méthode de Bézout, imaginée et mise au point par Étienne Bézout en 1762, est une méthode générale de résolution des équations algébriques.
Cette méthode tente de ramener l'équation que l'on veut résoudre à d'autres équations de degré moins élevé. Cette méthode fastidieuse échoue de façon certaine pour les équations de degré supérieur ou égal à cinq qui ont un groupe de Galois non résoluble. Elle n'a un intérêt concret que pour les équations de degré 3.
Principe de la méthode
Considérons une équation de degré Modèle:Math :
Soit Modèle:Math une racine Modèle:Math-ième primaire de l'unité.
Nous savons que les Modèle:Math racines Modèle:Math-ièmes de l'unité 1, Modèle:Math, Modèle:Math,…, Modèle:Math vérifient la relation :
La méthode de Bézout consiste à rechercher les racines de l'équation étudiée sous forme de combinaisons linéaires des racines Modèle:Math-ièmes de l'unité.
Pour cela, on commence par éliminer r entre les deux relations : Modèle:Retrait Modèle:Retrait
Ce qui nous donne une équation de degré Modèle:Math en Modèle:Math dont les coefficients sont des expressions dépendant de Modèle:Math0, Modèle:Math1, Modèle:Math2,...,Modèle:Math. En identifiant les coefficients de cette équation avec les coefficients correspondant de l'équation à résoudre, on obtient un système d'équations d'inconnues Modèle:Math0, Modèle:Math1, Modèle:Math2,...,Modèle:Math qui après résolution et report des différentes solutions dans :
nous donnera les solutions de l'équation que l'on s'était donné à résoudre.
Application à la résolution des équations cubiques
Nous allons exposer la méthode sur l'exemple suivant : Modèle:Retrait
Posons : Modèle:Retrait ~</math>}}
Modèle:Math est l'une des racines cubiques de l'unité et vérifie donc :
Recherchons les racines sous la forme :
Nous allons éliminer Modèle:Math entre les deux dernières équations.
Les deux dernières équations se mettent sous la forme : Modèle:Retrait
En faisant des produits membre à membre successifs et en remplaçant chaque fois celle des deux équations dont le degré par rapport à Modèle:Math est le plus élevé par le résultat, nous allons baisser progressivement le degré des équations par rapport à Modèle:Math jusqu'à ce que Modèle:Math disparaisse de l'une des équations.
Un premier produit membre à membre nous donne : Modèle:Retrait
Un deuxième produit membre à membre nous donne : Modèle:Retrait
Un troisième produit membre à membre nous donne : Modèle:Retrait
Un dernier produit membre à membre permet d'éliminer Modèle:Math et nous fournit l'équation : Modèle:Retrait
En identifiant les coefficients de cette équation avec les coefficients de l'équation que nous devons résoudre, nous obtenons : Modèle:Retrait
De la première équation nous en déduisons la valeur de Modèle:Math que l'on reporte dans les autres équations, on obtient : Modèle:Retrait
Mémorisons la valeur de a et portons le produit Modèle:Math dans la troisième équation, nous obtenons : Modèle:Retrait
En élevant au cube les deux membres de la première équation, on obtient : Modèle:Retrait
Modèle:Math et Modèle:Math sont donc les racines de l'équation : Modèle:Retrait
Les deux racines de cette équation sont : Modèle:Retrait
Les trois couples Modèle:Math vérifiant : Modèle:Retrait
sont donc : Modèle:Retrait Modèle:Retrait3\sqrt[3]{\frac52}\quad\text{et}\quad c_2=-\frac{\mathrm{j}^2}3\sqrt[3]{50}</math> ;}} Modèle:Retrait3\sqrt[3]{50}</math>.}}
En reportant dans <math>(*)</math> les valeurs de <math>a,b,c</math> trouvées, on obtient Modèle:Retrait\mathrm{j} - \frac{1}{3}\sqrt[3]{50}\mathrm{j}^2</math>,}} Modèle:Retrait{3}\sqrt[3]{\frac{5}{2}}\mathrm{j} - \frac{\mathrm{j}^2}{3}\sqrt[3]{50}\mathrm{j}^2</math> et}} Modèle:Retraitj- \frac{j}{3}\sqrt[3]{50}\mathrm{j}^2</math>,}}
ce qui, après simplification, donne Modèle:Retrait - \mathrm{j}^2\sqrt[3]{50}\right)</math>,}} Modèle:Retrait - \mathrm{j}\sqrt[3]{50}\right)</math> et}} Modèle:Retrait- \sqrt[3]{50}\right)</math>,}}
qui sont les trois racines de l'équation que l'on devait résoudre.
Autres méthodes de résolution d'équations
Lien externe
Texte de Bézout (1764) sur la résolution des équations algébriques, en ligne et commenté sur Bibnum
