Méthode de Simpson
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{{#invoke:Bandeau|ébauche}} En analyse numérique, la méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson, est une technique de calcul numérique d'une intégrale, c'est-à-dire le calcul approché de :
- <math>\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x</math>
Cette méthode utilise l'approximation d'ordre 2 de Modèle:Math par un polynôme quadratique Modèle:Math prenant les mêmes valeurs que Modèle:Math aux points d'abscisse Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math. Pour déterminer l'expression de cette parabole (polynôme de degré 2), on utilise l'interpolation lagrangienne. Le résultat peut être mis sous la forme :
- <math>P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+
f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+ f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}. </math>
Un polynôme étant une fonction très facile à intégrer, on approche l'intégrale de la fonction Modèle:Math sur l'intervalle Modèle:Math, par l'intégrale de Modèle:Math sur ce même intervalle. On a ainsi la simple formule :
- <math>\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \approx \int_{a}^{b} P(x)\,\mathrm{d}x = \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].</math>
Un autre moyen d'arriver à ce résultat est d'appliquer les formules de Newton-Cotes avec Modèle:Math.
Si Modèle:Math est 4 fois continument différentiable sur Modèle:Math, l'erreur d'approximation vaut :
- <math>-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi), \xi \in [a,b]</math> où <math>h=\frac{b-a}2.</math>
Cette expression du terme d'erreur signifie que la méthode de Simpson est exacte (c'est-à-dire que le terme d'erreur s'annule) pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à 3. De plus, cette méthode est d'ordre 4 pour toute fonction continûment dérivable quatre fois sur Modèle:Math.
Forme composite
Par ailleurs, il apparaît que plus l'intervalle est petit, plus l'approximation de la valeur de l'intégrale est bonne. Par conséquent, pour obtenir un résultat correct, on subdivise l'intervalle Modèle:Math en sous-intervalles et on additionne la valeur obtenue sur chaque intervalle. Soit :
- <math>\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\approx
\frac{h}{6}\left[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n-1}f(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{n}f(x_{2j-1})+f(x_{2n}) \right],</math>
où :
- Modèle:Math est le nombre de sous-intervalles de Modèle:Math ;
- Modèle:Math est la longueur de ces sous-intervalles ;
- <math>x_i=a+i\frac{h}{2}</math> pour <math>i=0, 1, \dots, 2n-1, 2n.</math>
Pour cette formule composite, le terme d'erreur devient égal à
- <math>-n \times \frac{h^5}{2880}f^{(4)}(\xi'), \xi' \in [a,b],</math>
ce qui signifie que la méthode composite fournit aussi des résultats exacts pour des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.
À la fois à cause de sa simplicité de mise en œuvre et sa bonne précision, cette méthode est la plus utilisée par les calculatrices pour tous calculs approchés d'intégrales de fonctions explicites.
Méthode 3/8 de Simpson
La méthode 3/8 de Simpson, ou deuxième méthode de Simpson, s'appuie cette fois sur une approximation cubique de la fonction plutôt qu'une approximation quadratique : <math display="block"> \begin{align}
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x
&\approx \frac{3}{8} h\left[f(a) + 3f\left(\frac{2a + b}{3}\right) + 3f\left(\frac{a + 2b}{3}\right) + f(b)\right]\\
&= \frac{b - a}{8} \left[f(a) + 3f\left(\frac{2a + b}{3}\right) + 3f\left(\frac{a + 2b}{3}\right) + f(b)\right],
\end{align} </math> où <math>h = (b - a)/3</math> est le pas.
L'erreur est donnée par <math display="block">-\frac{3}{80} h^5f^{(4)}(\xi) = -\frac{(b - a)^5}{6480} f^{(4)}(\xi),</math> où <math>\xi \in [a,b]</math>. La méthode 3/8 est donc deux fois plus précise que la méthode classique, mais nécessite une évaluation supplémentaire de la fonction<ref name="Matthews2004">Modèle:Lien web</ref>.
Pour une formule basée sur une interpolation d'ordre supérieur, on pourra se tourner vers les formules de Newton-Cotes.
On peut également dériver la formule 3/8 de Simpson pour en tirer une forme composite : <math display="block"> \begin{align}
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x
&\approx \frac{3}{8} h\sum_{i = 1}^{n/3} \left[f(x_{3i - 3}) + 3f(x_{3i - 2}) + 3f(x_{3i - 1}) + f(x_{3i})\right]\\
&= \frac{3}{8} h\left[f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + 3f(x_5) + 2f(x_6) + \dots + 2f(x_{n - 3}) + 3f(x_{n - 2}) + 3f(x_{n - 1}) + f(x_n)\right]\\
&= \frac{3}{8} h\left[f(x_0) + 3 \sum_{i = 1,\ 3\nmid i}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=1}^{n/3 - 1} f(x_{3i}) + f(x_n)\right].
\end{align} </math>
L'erreur est évaluée avec<ref name="Matthews2004"/> <math>-\frac{1}{80} h^4(b - a)f^{(4)}(\xi),</math> mais il apparait clairement que la formule n'est utilisable pour Modèle:Mvar multiple de 3.
Références
Voir aussi
Article connexe
Liens externes
- Formules de Newton-Cotes sur math-linux.com
- Modèle:MathWorld
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