Nombre étrange

Un nombre étrange est, en mathématiques, un entier naturel n qui est abondant mais non semi-parfait : la somme de ses diviseurs propres (y compris 1 mais pas n) est plus grande que n mais aucune somme de certains de ses diviseurs n'est égale à n.

Le plus petit nombre étrange est 70. Ses diviseurs propres sont 1, 2, 5, 7, 10, 14 et 35. Leur somme vaut 74 mais aucune somme de certains de ses diviseurs ne donne 70.

Il existe une infinité de nombres étranges, car le produit d'un tel nombre avec un nombre premier assez grand est encore étrange. Les huit plus petits sont<ref name=OEIS>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Suite Modèle:OEIS2C de l'OEIS.</ref>: 70, 836, 4 030, 5 830, 7 192, 7 912, 9 272, 10 430. La suite des nombres étranges a une densité asymptotique positive<ref>Modèle:Article.</ref>.

En 2012, aucun nombre étrange impair n'a encore été découvert. S'il en existe, ils doivent être plus grands que 2³² ≈ 4 × 10⁹ <ref>Modèle:Article. Le résultat est attribué à « M. Mossinghoff, université du Texas à Austin ».</ref> et même 1,8 × 10Modèle:19 <ref name=OEIS/><ref>Modèle:Lien web</ref>.

Stanley Kravitz a démontré que si <math>k</math> est un entier strictement positif, si <math>Q</math> est un nombre premier et si <math>R=\frac{2^kQ-(Q+1)}{(Q+1)-2^k}</math> est aussi un nombre premier, alors l'entier <math>n=2^{k-1}QR</math> est un nombre étrange<ref>Modèle:Article.</ref>. À l'aide de cette formule, il a trouvé le plus grand nombre étrange primitif (non multiple d'un plus petit) connu jusque-là,

<math>n=2^{56}\,(2^{61}-1)\,153\,722\,867\,280\,912\,929\approx2\cdot10^{52}.</math>

En 2013, des étudiants de la Central Washington University ont repris son idée et ont trouvé de nouveaux nombres étranges primitifs avec deux fois plus de chiffres<ref>Modèle:Lien web.</ref>. Aujourd'hui on connait des nombres étranges primitifs avec plus que 2000 chiffres<ref>Modèle:Article</ref>.

Références culturelles

La neuvième piste de l'album Geogaddi par le groupe Boards of Canada porte le titre The Smallest Weird Number<ref>Modèle:Lien web.</ref> (le plus petit nombre étrange), 70.