Nombre carré centré
Modèle:Confusion Un nombre carré centré est un nombre figuré centré qui peut être représenté par un carré avec un point placé en son centre et tous ses autres points disposés en couches carrées concentriques de 4 points, 8 points, 12 pointsModèle:Etc. Ainsi, le Modèle:Mvar-ième carré centré comporte Modèle:Mvar points sur chaque rayon et sur chaque côté :
Fichier:Square number 1 with gnomon.svg
C4,1 = 1
Fichier:Centered square number 5 emanating from 1.svg
C4,2 = 1 + 4 = 5
Fichier:Centered square number 13 emanating from 5.svg
C4,3 = 5 + 8 = 13
Fichier:Centered square number 25 emanating from 13.svg
C4,4 = 13 + 12 = 25
Relation de récurrence et formule explicite
Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 1, le Modèle:Mvar-ième carré centré a un point central et Modèle:Mvar – 1 couches carrées.
Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 2, la dernière couche du Modèle:Mvar-ième carré centré comporte 4(Modèle:Mvar – 1) points ; c'est le gnomon associé au (Modèle:Mvar – 1)-ième carré centré, et faisant passer au Modèle:Mvar-ième :
Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 1, le Modèle:Mvar-ième nombre carré centré égale donc 1 plus 4 fois la [[Somme (arithmétique)#Somme des premiers entiers|somme des entiers de 0 à Modèle:Mvar – 1]] :
Exemple
Le quatrième nombre carré centré est :
\\&= {\color{red}1} + 4\left({\color{orange}1} + {\color{green}2} + {\color{blue}3}\right) \\&= {\color{red}1} + 4\times6
\\&= 25.\end{align}</math>Liste de nombres carrés centrés
Les dix premiers nombres carrés centrés sont :
Relations avec les nombres triangulaires
- D'après son expression ci-dessus, le Modèle:Mvar-ième nombre carré centré égale 1 plus 4 fois le (Modèle:Mvar – 1)-ième nombre triangulaire Modèle:MvarModèle:Mvar–1 = Modèle:Sfrac :
<math>\forall\ n \ge 1,\ C_{4,n} = 1 + 4T_{n-1}.</math> Cette égalité peut se représenter par :
- Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 2, le Modèle:Mvar-ième nombre carré centré est la somme pondérée des trois nombres triangulaires consécutifs Modèle:MvarModèle:Mvar–2, Modèle:MvarModèle:Mvar–1, Modèle:MvarModèle:Mvar, affectés des coefficients 1, 2, 1 :
- Le cas Modèle:Mvar4,2 = Modèle:Mvar0 + 2Modèle:Mvar1 + Modèle:Mvar2 = 0 + 2×1 + 3 = 5 est trivial ; représentations suivantes :
Relations avec les nombres carrés
- Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 1, le Modèle:Mvar-ième nombre carré centré est la somme des deux nombres carrés consécutifs Modèle:Mvar2 et (Modèle:Mvar – 1)2 :
- Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 1, le Modèle:Mvar-ième nombre carré centré peut donc aussi s'écrire sous la forme :
<math>C_{4,n} = n^2 + (n-1)^2 = {{(2n-1)^2 + 1} \over 2}</math> Un entier Modèle:Mvar est donc carré centré si et seulement si 2Modèle:Mvar – 1 est un carré parfait. Modèle:Refsou
(trinôme du second degré sous forme canonique).
Propriétés de congruence
- Tous les nombres carrés centrés sont impairs ; et en base 10, le chiffre des unités du Modèle:Mvar-ième nombre carré centré suit le motif « 1-5-3-5-1 ».
- Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs sont congrus à 1 modulo 4. (En effet : pour tout facteur premier Modèle:Mvar de 2Modèle:Mvar2 – 2Modèle:Mvar + 1, Modèle:Mvar est impair, et modulo Modèle:Mvar, puisque (Modèle:Mvar – 1)2 est congru à –Modèle:Mvar2, –1 est un résidu quadratique ; donc [[Loi de réciprocité quadratique|modulo 4, Modèle:Mvar est congru à 1]].) Ils se terminent donc par le chiffre 1 ou 5 en bases 6, 8, et 12.
Nombre carré centré premier
Les dix plus petits entiers qui sont à la fois premiers et carrés centrés sont 5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761 (Modèle:OEIS2C).
