Nombre carré triangulaire

En mathématiques, un nombre triangulaire carré est un nombre triangulaire qui est de plus carré. Il y a une infinité de tels nombres.

Ils s'écrivent sous la forme<ref name=MathWorld>Modèle:MathWorld.</ref>

<math>N_k=\frac{\left(\left(1+\sqrt2\right)^{2k}-\left(1-\sqrt2\right)^{2k}\right)^2}{32}=\frac{\left(\left(3+2\sqrt2\right)^k-\left(3-2\sqrt2\right)^k\right)^2}{32},\quad k\in\N^*.</math>

Démonstration

Le problème se ramène à la résolution d'une équation diophantienne de la manière suivante<ref name=MathWorld/>.

Tout nombre triangulaire est de la forme t(t + 1)/2. On recherche donc les entiers t et s tels que t(t + 1)/2 = s², c'est-à-dire, en posant x = 2t + 1 et y = 2s, les solutions de l'équation de Pell-Fermat

<math>x^2-2y^2=1.</math>

Les solutions sont données par

soit

Modèle:Retrait2\quad{\rm et}\quad y_k=\frac{(1+\sqrt2)^{2k}-(1-\sqrt2)^{2k}}{2\sqrt2}.</math>}}

On trouve donc

Modèle:Retrait{4\sqrt2},</math>}}

d'où la valeur annoncée pour Modèle:Math.

Observations numériques

k	Nk	sk	tk	tk/sk
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1,3…
3	1 225	35	49	1,4
4	41 616	204	288	1,411…
5	1 413 721	1 189	1 681	1,413…
6	48 024 900	6 930	9 800	1,4141…
7	1 631 432 881	40 391	57 121	1,41420…
8	55 420 693 056	235 416	332 928	1,414211…
9	1 882 672 131 025	1 372 105	1 940 449	1,4142132…

(voir la Modèle:OEIS pour quelques valeurs suivantes de N_k).

Lorsque k tend vers l'infini, le rapport

tend vers la racine carrée de deux et

Modèle:Retrait={s_{k+1}^2\over s_k^2}\to(1+\sqrt 2)^4.</math>}}

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence, renommé [[:en:Talk:Square triangular number#Square triangular number|« Modèle:Lang » en août 2005]]. Modèle:Références