Nombre de Sierpiński
En mathématiques, un nombre de Sierpiński est un entier naturel impair <math>k</math> pour lequel tous les nombres <math>N</math> de la forme <math>N=k2^{n} + 1</math> sont composés (c'est-à-dire non premiers), quel que soit l'entier naturel <math>n</math>.
En 1960, Wacław Sierpiński montra qu'il existe une infinité de ces nombres.
Liste des premiers nombres de Sierpiński
Les premiers nombres de Sierpiński prouvés, entre 0 et Modèle:Nombre, sont :
Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, ... Modèle:OEIS.
Il n'est pas certain que cette liste soit exhaustive.
En particulier, en 1962, ayant trouvé que Modèle:Nombre = 17 × Modèle:Nombre est un nombre de Sierpiński, John Selfridge conjectura que Modèle:Nombre était le plus petit de ces nombres.
Exemple de vérification d'un nombre de Sierpiński : Modèle:Nombre
John Selfridge prouva en 1962 que Modèle:Nombre est un nombre de Sierpiński.
La preuve montre que tout choix de n rentre dans au moins une catégorie parmi 7, où chaque catégorie garantit un facteur pour N.
Selfridge démontra en effet que :
- <math>78\,557 \times 2^{2n} + 1</math> est un multiple de 3 ;
- <math>78\,557 \times 2^{4n+1} + 1</math> est un multiple de 5 ;
- <math>78\,557 \times 2^{3n+1} + 1</math> est un multiple de 7 ;
- <math>78\,557 \times 2^{12n+11} + 1</math> est un multiple de 13 ;
- <math>78\,557 \times 2^{18n+15} + 1</math> est un multiple de 19 ;
- <math>78\,557 \times 2^{36n+27} + 1</math> est un multiple de 37 ;
- <math>78\,557 \times 2^{9n+3} + 1</math> est un multiple de 73.
Ainsi, on peut construire la table des exposants modulo 36 :
| Si l'exposant est congru modulo 36 à ... (valeurs de la première ligne ci-après), | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| alors N a pour diviseur ... (valeurs de la seconde ligne ci-après) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
| 3 | 5 | 3 | 73 | 3 | 5 | 3 | 7 | 3 | 5 | 3 | 13 | 3 | 5 | 3 | 19 | 3 | 5 | 3 | 7 | 3 | 5 | 3 | 13 | 3 | 5 | 3 | 37 | 3 | 5 | 3 | 7 | 3 | 5 | 3 | 13 |
Ainsi, par congruence, tous les exposants sont considérés, ce qui veut dire qu'aucun terme de la suite ne peut être premier.
On peut dire la même chose des nombres de Sierpiński prouvés suivant, à savoir : Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, etc.
Détermination du plus petit nombre de Sierpiński
Il est conjecturé que Modèle:Nombre est le plus petit nombre de Sierpiński. Pour le montrer, il suffit pour chaque nombre impair plus petit de trouver un exposant n tel que (k2n + 1) soit premier. En 2000, il ne restait plus que 17 candidats possibles.
Modèle:Lang, le projet de calcul distribué, commença à tester ces dix-sept nombres pour voir s'ils pouvaient être éliminés de la liste des nombres de Sierpiński possibles. Si le projet trouve que tous ces nombres génèrent un nombre premier, le projet aura trouvé une preuve de la conjecture de Selfridge.
Le projet réussit à trouver onze nombres premiers supplémentaires ; en conséquence, il ne reste plus que 6 nombres à tester. Le Modèle:11e a été trouvé en octobre 2007.
En Modèle:Date-, à la suite d'un incident provoquant la perte des serveurs, le projet Modèle:Lang est arrêtéModèle:Refsou. Les tests continuent alors sur PrimeGrid. En Modèle:Date-, un Modèle:12e nombre est trouvé<ref>Modèle:Lien web</ref>.
Détermination du plus petit nombre de Sierpiński premier
Il est conjecturé que le plus petit nombre de Sierpiński premier est Modèle:Nombre…
Notes et références
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} The Sierpiński Problem: Definition and Status compiled by Wilfrid Keller on prothsearch.com
<references />
