Nombre double de Mersenne
Modèle:Voir homonymes En mathématiques, un nombre double de Mersenne est un nombre de Mersenne de la forme
- <math>M_{M_n} = 2^{2^n-1}-1</math>
où Modèle:Math est un entier strictement positif et Modèle:Math désigne le Modèle:Math-ième nombre de Mersenne.
Premières valeurs
Les plus petits nombres doubles de Mersenne sont donc :
Nombre double de Mersenne premier
Puisqu'un nombre de Mersenne Modèle:Math ne peut être premier que si Modèle:Math est premier (condition nécessaire mais pas suffisante), un nombre double de Mersenne Modèle:Math ne peut être premier que si Modèle:Math est un nombre de Mersenne premier (ce qui nécessite avant tout que Modèle:Math le soit : on a vu par exemple que Modèle:Math et Modèle:Math ne sont pas premiers).
Les seuls nombres doubles de Mersenne premiers connus sont Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math.
Après 2, 3, 5 et 7, les premières valeurs de Modèle:Math pour lesquelles Modèle:Math est premier sont Modèle:Math = 13, 17, 19, 31. Pour ces quatre valeurs, Modèle:Math n'est pas premier (des facteurs explicites ont été trouvés). Le candidat suivant, Modèle:Math, est bien trop grand pour les tests actuels.
Nombre de Catalan-Mersenne
Les nombres de Catalan-Mersenne cn, définis par récurrence par c0 = 2 et cn+1 = Mcn, sont de Mersenne pour n ≥ 1 et doubles de Mersenne pour n ≥ 2. Les cinq premiers (c0 à c4) sont les nombres premiers
- 2, M2 = 3, MM2 = M3 = 7, MM3 = M7 = 127 et MM7 = M127 (Modèle:OEIS).
Le suivant, c5 = MM127, est encore plus énorme que le MM61 du § ci-dessus.
S’il faut définir un c0, c’est parce qu’à l’époque de Mersenne, on considérait encore 1 comme un nombre premierModèle:Refsou.
