Nombre premier de Wolstenholme

En mathématiques, un nombre premier p est appelé nombre premier de Wolstenholme si la condition suivante est vérifiée :

<math>{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \bmod{p^4}</math>.

Les nombres premiers de Wolstenholme sont nommés en l'honneur du mathématicien Joseph Wolstenholme, qui a démontré en 1862 que tout nombre premier p ≥ 5 vérifie la condition analogue modulo pModèle:3 (théorème de Wolstenholme), suite à Charles Babbage qui avait prouvé la condition modulo p² en 1819.

On conjecture qu'il en existe une infinité<ref>Modèle:Article.</ref>, bien que<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Suite Modèle:OEIS2C de l'OEIS.</ref><ref>Modèle:Article.</ref><ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} 9 Mar 2004, latest update on the Wieferich, Wilson, Wall-Sun-Sun (Fibonacci Wieferich) and Wolstenholme search (courriel de Richard McIntosh à Paul Zimmermann).</ref> les seuls connus soient 16 843 et 2 124 679 et qu'il n'en existe pas d'autres plus petits que 10⁹.

Définitions équivalentes

Pour tout nombre premier p, les propriétés suivantes sont équivalentes<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Wolstenholme prime sur le Prime Pages Glossary.</ref><ref>Modèle:Article .</ref> :

• p est un nombre premier de Wolstenholme ;
• <math>\binom{2p}p\equiv2\bmod{p^4}</math> ;
• p divise le numérateur du nombre de Bernoulli B_p–3 ;
• p > 7 et p divise le numérateur de <math>\sum_{p/6<k<p/4}\tfrac1{k^3}</math>.

Article connexe

• Liste de suites de nombres premiers