Nombre pseudo-premier de Fibonacci
En théorie des nombres, un nombre pseudo-premier est un nombre qui partage une propriété commune à tous les nombres premiers sans être lui-même premier.
Il existe plusieurs définitions, non équivalentes, de nombre pseudo-premier de Fibonacci. L'une d'elles<ref>Une définition différente est celle commune à
Une autre encore est donnée dans Modèle:MathWorld.</ref> est<ref name="MullerOswald" /> :
Un nombre pseudo-premier de Fibonacci est un nombre composé impair Modèle:Mvar tel que
où <math>L_n</math> est le nombre de Lucas d'ordre Modèle:Mvar.
Il est conjecturé que la condition d'imparité est redondante<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Lawrence Somer, « On Even Fibonacci Pseudoprimes. » In G.E. Bergum et al, eds. Applications of Fibonacci Numbers. Volume 4. Dordrecht: Kluwer, 1991. 277-288 Modèle:DOI.</ref>.
Les premières valeurs en sont 705, 2465, 2737, 3745, 4181, 5777, 6721 : elles forment la Modèle:OEIS dont les termes y sont dénommés "nombres pseudo-premiers de Bruckman-Lucas".
Un nombre pseudo-premier de Fibonacci fort est un nombre composé impair Modèle:Mvar tel que<ref name=MullerOswald>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Winfried B. Müller et Alan Oswald, « Generalized Fibonacci Pseudoprimes and Probable Primes. » In G.E. Bergum et al, eds. Applications of Fibonacci Numbers. Volume 5. Dordrecht: Kluwer, 1993. 459-464 Modèle:DOI.</ref>
où <math>V(P,Q)</math> est la suite de Lucas de paramètres Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. Ce sont des pseudo-premiers de Fibonacci car <math>V_n(1,-1)=L_n</math>.
Une condition équivalente est <ref name="MullerOswald" />:
- Modèle:Mvar est un nombre de Carmichael ;
- pour tout facteur premier p de Modèle:Mvar, 2(Modèle:Mvar + 1) divise Modèle:Mvar – 1 ou Modèle:Mvar – Modèle:Mvar.
Le plus petit exemple de pseudo-premier de Fibonacci fort est 443372888629441 = 17·31·41·43·89·97·167·331 ; voir la Modèle:OEIS.
Notes et références
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Liens externes
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Peter G. Anderson, Fibonacci Pseudoprimes, their factors, and their entry points
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Peter G. Anderson, Fibonacci Pseudoprimes under 2,217,967,487 and their factors
