Nombres premiers sexy

En mathématiques, un couple de nombres premiers sexy (ou nombres premiers sexys<ref>Selon l’orthographe recommandée depuis les rectifications orthographiques du français en 1990.</ref>) est un couple de nombres premiers dont la différence est 6 (autrement dit, un couple de la forme (p, p + 6) où p et p + 6 sont des nombres premiers). C'est le cas, par exemple, des nombres 5 et 11. Certains de ces nombres premiers sont consécutifs, par exemple 23 et 29 sont premiers et il n'y a pas de nombre premier entre eux deux.

Le terme « sexy » est un jeu de mots fondé sur le mot latin pour « six » : sex.

Groupements

Couples

Les couples de nombres premiers sexy (suites Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C de l'OEIS, ou suite Modèle:OEIS2C) inférieurs à 500 sont :

(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467)

En novembre 2005, le plus grand couple de nombres premiers sexy connu est (p, p + 6) pour

p = (48011837012 × ((53238 × 7879#)² - 1) + 2310) × 53238 × 7879# / 385 + 1, où 7879# est une primorielle.

Il est composé de 10 154 chiffres et a été découvert par Torbjörn Alm, Micha Fleuren et Jens Kruse Andersen<ref name="yahoo">{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Gigantic sexy and cousin primes, message de Jens Kruse Andersen sur PrimeFormGW (PFGW), un groupe de discussion Yahoo! consacré aux tests de primalité, 3 novembre 2005.</ref>.

En octobre 2019, le plus grand couple de nombres premiers sexy connu a été découvert par P. Kaiser et est composé de 50 539 chiffres. Il se compose des deux premiers suivants :

Modèle:Mvar (520461 × 2⁵⁵⁹³¹+1) × (98569639289 × (520461 × 2⁵⁵⁹³¹-1)²-3)-1

Modèle:Math (520461 × 2⁵⁵⁹³¹+1) × (98569639289 × (520461 × 2⁵⁵⁹³¹-1)²-3)+5<ref>Modèle:Lien web</ref>

Triplets

Comme les nombres premiers cousins, les nombres premiers sexy peuvent être étendus à des constellations plus grandes.

Les triplets de nombres premiers sexys sont les triplets de nombres premiers de la forme (p, p + 6, p + 12) tels que p + 18 est composé (non premier). Les triplets inférieurs à 1 000 (suites Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C de l'OEIS) sont :

(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983)

En décembre 2019, le plus grand triplet de nombres premiers sexy connu (qui s'écrit avec 10602 chiffres), découvert par Gerd Lamprecht et Norman Luhn, est (p, p+6, p+12) pour :

Modèle:Mvar 2683143625525x2³⁵¹⁷⁶+1<ref>Modèle:Lien web</ref>.

Quadruplets

De façon similaire, on peut définir des quadruplets de nombres premiers sexys (p, p+6, p+12, p+18). À l'exception du quadruplet (5, 11, 17, 23), la représentation décimale de p finit forcément par 1. Les quadruplets inférieurs à 1 000 (suites Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C de l'OEIS) sont :

(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659).

En octobre 2019 Gerd Lamprecht et Norman Luhn ont découvert un quadruplet possédant 3025 chiffres avec :

Modèle:Mvar 121152729080 × 7019#/1729 + 1<ref>Modèle:Lien web</ref><ref>Modèle:Lien web.</ref> où 7019# est une primorielle.

Quintuplet

Comme dans une progression arithmétique de raison 6, un terme sur 5 est divisible par 5, le seul quintuplet de nombres premiers sexy existant est (5, 11, 17, 23, 29), et il n'est pas possible de trouver une séquence plus longue (sextuplet, etc.)<ref>Démonstrations détaillées sur le site ChronoMath.</ref>.

Voir aussi

Articles connexes

• Conjecture de Polignac
• Nombres premiers jumeaux (deux nombres premiers qui différent de 2)
• Nombres premiers cousins (deux nombres premiers qui différent de 4)