Partie entière et partie fractionnaire
En mathématiques et en informatique, la partie entière par défaut, ou partie entière inférieure, en général abrégée en partie entière tout court, d'un nombre réel <math>x</math> est le plus grand entier relatif (positif, négatif ou nul) inférieur ou égal à <math>x</math>.
Notée le plus souvent <math>\lfloor x\rfloor</math>, elle est entièrement définie par :
Son existence est garantie par la propriété d'Archimède<ref name="Breal">Modèle:Ouvrage.</ref>. Dans le cas où <math>x</math> est un nombre rationnel, sa partie entière n'est autre que le quotient euclidien de son numérateur par son dénominateur. Modèle:Démonstration
La différence entre un nombre <math>x</math> et sa partie entière est appelée sa partie fractionnaire ou partie décimale.
On définit également la partie entière par excès ou partie entière supérieure comme le plus petit entier supérieur ou égal à <math>x</math>.
Notations
La partie entière (par défaut) de <math>x</math> est notée conventionnellement <math>\lfloor x\rfloor </math>, c'est-à-dire avec les anglets « plancher à gauche » (<math>\lfloor</math>) et « plancher à droite » (<math>\rfloor</math>)<ref>symboles techniques divers, Consortium Unicode</ref>. La fonction partie entière est souvent notée <math>\mathrm E</math> ou <math>\mathrm {\underline{E}}</math> .
On utilise aussi la notation <math>[x]</math> mais celle-ci a tendance à être remplacée par la notation <math>\lfloor x\rfloor </math> car elle peut être confondue avec des parenthèses. De plus, il y a symétrie entre la partie entière inférieure (appelée en anglais Modèle:Langue, « plancher ») définie par l’encadrement :
et la partie entière supérieure (appelée en anglais Modèle:Langue, « plafond ») définie par :
La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité, ou troncature entière, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs.
Par exemple, la partie entière de –1,5 vaut –2, tandis que sa troncature à l'unité vaut –1.
Partie fractionnaire
La partie fractionnaire d'un nombre réel <math>x</math>, notée <math>\{x\} </math><ref>Séries de Fourier, Éditions techniques de l'ingénieur, p. 18.</ref>,Modèle:Efn, ou parfois <math>\left \langle x \right \rangle</math> <ref>Modèle:Article</ref>, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut :
La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.
On trouve également le terme de partie décimale du nombre, notamment pour les nombres décimaux<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
Certains considèrent le terme partie fractionnaire impropre pour les nombres irrationnels, car cette partie n'est alors pas rationnelle, donc n'est pas une fraction<ref>Modèle:Lien web.</ref>. Mais « partie décimale » n'est pas plus correct dans le cas des nombres qui ne sont pas eux-mêmes décimaux, car cette partie n'est alors pas décimale non plus.
Propriétés générales
Tout réel <math>x</math> vérifie les propriétés suivantes, où <math>\mathbb{Z} </math> est l'ensemble des entiers relatifs :
- <math>x = \lfloor x \rfloor + \{x\}</math> ; avec <math> 0 \leqslant \{x\} < 1</math> ;
- pour tout <math>n \in \Z</math>, on a <math>\lfloor x + n\rfloor = \lfloor x\rfloor + n</math> ;
- <math>\lfloor -x \rfloor + \lfloor x \rfloor = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si }x\in \Z\text{,} \\ -1 & \text{sinon.}\end{array}\right.</math> ;
- <math display="inline">\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leqslant \lfloor x + y \rfloor \leqslant \lfloor x \rfloor
+ \lfloor y \rfloor + 1 </math> avec Modèle:Mvar réelModèle:Efn. Pour tout entier <math>n</math> strictement positif :
- <math>0 \leqslant \lfloor nx \rfloor - n\lfloor x \rfloor \leqslant n-1</math> (car <math>n\lfloor x\rfloor\leqslant nx<n\lfloor x\rfloor+n</math>) ;
- <math>\left\lfloor\frac{\lfloor nx \rfloor}n\right\rfloor=\lfloor x \rfloor</math> (car <math>\lfloor x\rfloor\leqslant\frac{\lfloor nx \rfloor}n\leqslant x</math>) , d'où <math>\left\lfloor\frac{\lfloor x \rfloor}n\right\rfloor=\left\lfloor {x\over{n}}\right \rfloor</math>;
- <math>\lfloor x \rfloor +\left\lfloor x+\frac1n\right\rfloor +\left \lfloor x+\frac2n \right\rfloor
+\cdots+\left\lfloor x +\frac{n-1}{n}\right\rfloor =\lfloor nx \rfloor</math><ref name=":02">Modèle:Ouvrage</ref>.
Fonction partie entière
La fonction partie entière n'est pas continue en une valeur entière, mais est continue à droite et semi-continue supérieurement.
Sa dérivée au sens des distributions est le peigne de Dirac de période 1.
Fonction partie fractionnaire
Parfois notée <math>\text{frac}</math>, elle est continue à droite et semi-continue supérieurement. Elle est aussi périodique, de période <math>1</math> (d'après la remarque immédiate<ref name=Breal/>,Modèle:Efn: pour tout entier <math>n,</math> <math>\lfloor x+n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n.</math>)
Sur <math>\mathbb{R} \backslash \Z , x \mapsto \{ x \}</math> admet la décomposition en série de Fourier :
- <math>\{ x \} = \frac12 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2 \pi nx)}{n \pi}.</math>
Pour obtenir une décomposition en série de Fourier valable sur tout <math>\mathbb{R} ,</math> on pose :
- <math>((x)) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2 \pi nx)}{n \pi} = \begin{cases} \{ x \} - \frac12 & \mbox{si } x \mbox{ n'} \mbox{est pas entier,} \\ 0 & \mbox{sinon.} \end{cases}</math>
À proximité de l'image de chaque nombre entier, on observe un phénomène de Gibbs sur la décomposition en série de Fourier de cette fonction, qui persiste malgré l'augmentation du nombre de coefficients calculés (voir l'animation ci-contre).
La fonction <math>x \mapsto ((x))</math> intervient aussi dans l'expression des sommes de Dedekind, ainsi que dans la formule d'Euler Mac-Laurin.
Partie entière par excès
Aussi appelée partie entière supérieure, elle peut se définir par l'expression :
- <math>\lceil x\rceil = -\mathrm \lfloor -x \rfloor</math>.
La fonction <math>x \mapsto\left \lceil x \right \rceil</math>, parfois notée <math>\overline{\text{E}}</math> , est continue à gauche et semi-continue inférieurement.
En outre, pour tout <math>n \in \Z</math><ref>Modèle:Ouvrage, exercice 12.</ref> :
- <math>n= \lfloor n/ 2 \rfloor + \lceil n/ 2 \rceil</math> ;
- <math>\forall m\in\N^*\quad\left\lceil\frac nm\right\rceil=\left\lfloor\frac{n+m-1}m\right\rfloor=\left\lfloor\frac{n-1}m\right\rfloor+1</math>.
Exemples
| Modèle:Mvar | Partie entière <math>\lfloor x\rfloor</math> | par excès <math>\lceil x\rceil</math> | Partie fractionnaire Modèle:Math |
|---|---|---|---|
| 12/5 = 2,4 | 2 | 3 | 2/5 = 0,4 |
| 2,9 | 2 | 3 | 0,9 |
| −2,7 | −3 | −2 | 0,3 |
| −2 | −2 | −2 | 0 |
Définitions équivalentes
Dans les formules suivantes, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des nombres réels, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des entiers relatifs.
Les parties entières par défaut et par excès peuvent aussi être définies par :
- <math>\lfloor x \rfloor = \max \{m \in \Z \mid m \leqslant x \} \ ;</math> <math> \lceil x \rceil = \min \{ n \in \Z \mid n \geqslant x \} .</math>
Dans un intervalle semi-ouvert de largeur 1, il existe un seul entier ; donc pour tout réel Modèle:Mvar, il existe deux entiers Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, égaux si Modèle:Mvar est entier, tels que :
- <math>x-1 < m \leqslant x \leqslant n < x+1.</math>
Les parties entières par défaut et par excès peuvent alors aussi être définies par :
- <math>\lfloor x \rfloor = m \ ; \ \lceil x \rceil = n.</math>
D'autres formules équivalentes peuvent être utilisées pour simplifier des expressions avec des parties entières<ref>Modèle:Harvsp.</ref>:
- <math>
\begin{matrix} \lfloor x \rfloor & = & m & \iff & m & \leqslant & x & < & m+1, \\ \lceil x \rceil & = & n & \iff & n-1 & < & x & \leqslant & n. \end{matrix} </math>
Applications
Expression du PGCD
La propriété <math>\lfloor -x \rfloor + \lfloor x \rfloor = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si }x\in \Z \\ -1 & \text{sinon,}\end{array}\right.</math> est utilisée dans une démonstration du fait que si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des entiers strictement positifs premiers entre eux alors (formule dite « de Sylvester »<ref name=":0">J. E. Blazek, Combinatoire de N-modules de Catalan, mémoire de maîtrise, 2015, Modèle:P..</ref>, ou « de Polezzi » <ref name=":1">Modèle:Article</ref> ) :Modèle:Centrer
- formule pouvant être généralisée pour tous entiers Modèle:Mvar et Modèle:Mvar strictement positifs<ref>Modèle:Ouvrage</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage</ref> :
<math display="block">\sum_{k=0}^{b-1}\left\lfloor k \frac{a}b\right\rfloor=\frac{(a-1)(b-1)+\operatorname{pgcd}(a,b)-1}2</math>Modèle:Démonstration/début <math>S=\sum_{k = 1}^{b - 1} \left\lfloor k\frac{a}b\right\rfloor = \sum_{k = 1}^{b - 1} \left\lfloor (b-k)\frac{a}b\right\rfloor
\sum_{k = 1}^{b - 1} \left\lfloor a-k\frac{a}b\right\rfloor
\sum_{k = 1}^{b - 1} \left(a+\left\lfloor -k\frac{ a}b\right\rfloor\right) =(b-1)a+\sum_{k = 1}^{b - 1} \left\lfloor -k\frac{ a}b\right\rfloor </math>
donc <math>2S=\sum_{k = 1}^{b- 1} \left(\left\lfloor k\frac{a}b\right\rfloor +\left\lfloor -k\frac{a}b\right\rfloor\right) + (b-1)a </math>.
Posons <math>a=da',b=db'</math> ou <math>d=\text{pgcd}(a,b)</math> ; alors <math>k{a\over b}=k{a'\over b'}</math> est entier <math>d-1</math> fois pour <math>k</math> entre 1 et <math>db'-1</math>.
Donc, d'après la propriété précédente donnant la valeur de <math>\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor </math> :
<math display=block>2S=-(b-1)+(d-1)+(b-1)a=(a-1)(b-1)+d-1 </math> Modèle:Démonstration/fin
- Cette formule peut être inversée de sorte à donner une formule explicite pour le PGCD <ref name=":1" />:
- On en déduit également<ref>Modèle:Ouvrage</ref> :
Fonctions arithmétiques
Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des entiers strictement positifs, <math> \left\lfloor \frac{ a}b\right\rfloor</math> est le nombre de multiples de Modèle:Mvar qui sont inférieurs ou égaux à Modèle:Mvar : <math>\left\lfloor \frac{ a}b\right\rfloor=\sum_{\begin{matrix} 1\leqslant k\leqslant a \\ b | k \end{matrix}} 1 </math>.
Si, par exemple, une fonction arithmétique est définie par <math>f(n)=\sum _{d|n}g(d) </math>, la somme des Modèle:Mvar premiers termes vérifie :
<math display=block>\sum_{k = 1}^n f(k) = \sum_{d=1}^n \left \lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor g(d)</math>.
Modèle:Démonstration/début <math display=block>\sum_{k = 1}^n f(k) = \sum_{k=1}^n \sum_{d | k} g(d) = \sum_{d=1}^n \sum_{\begin{matrix} 1\leqslant k\leqslant n \\ d | k \end{matrix}} g(d) = \sum_{d=1}^n \left \lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor g(d). </math>
Arrondi entier et arrondi à une précision donnée
Définition et notations
L'arrondi entier d'un nombre réel <math>x</math>, noté <math>\text{arrondi}(x)</math> ou <math>\text{EPP}(x)</math>, est l'entier le plus proche de <math>x</math> ; s'il y en a deux, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue de façon que la fonction <math>\text{arrondi}</math> soit une fonction impaire.
On a : <math>\text{arrondi}(x)=\begin{cases} \left \lfloor x+1/2\right \rfloor&\mbox{si }x\geqslant0 \\ \left \lceil x-1/2\right \rceil&\mbox{si }x\leqslant0 \end{cases} </math>
ce qui peut se résumer en une seule formule valable pour tout nombre réel <math>x</math> :
- <math>\text{arrondi}(x)
=\sgn(x)\left\lfloor\left\vert x\right\vert+1/2\right\rfloor</math>.
Comme l'arrondi d'un réel <math>x</math> est égal à sa partie entière inférieure ou supérieure, il est aussi parfois noté <math>\left \lfloor x \right \rceil </math><ref>Modèle:MathWorld</ref>.
En résumé, les parties supérieures, inférieures, et l'arrondi entier sont caractérisés par les inégalités suivantes (la troisième uniquement pour <math>x</math> positif) :
<math display=block>\left\{ \begin{array}{c} \left \lfloor x \right \rfloor\leqslant x<\left \lfloor x \right \rfloor+1 \\ \left \lceil x \right \rceil -1< x\leqslant\left \lceil x \right \rceil\\\left \lfloor x \right \rceil-0,5 \leqslant x< \left \lfloor x \right \rceil+0,5 \end{array} \right.</math>
Arrondi à une précision donnée
Étant donné un réel strictement positif <math>\varepsilon</math>, l'arrondi à la précision <math>\varepsilon</math> d'un réel <math>x</math> est le nombre multiple de <math>\varepsilon</math> le plus proche de <math>x</math> :
- <math>\text{arrondi}_\varepsilon(x)=\varepsilon \cdot \text{arrondi}\left ( \frac{x} {\varepsilon} \right )</math>
Étant donné un entier <math>n</math> , l'arrondi décimal de <math>x</math> à l'ordre <math>n</math>, est l'arrondi de <math>x</math> à la précision <math>10^{-n}</math> :
- <math>\text{arrondi}_n(x)=10^{-n}\text{arrondi}\left ( 10^nx \right )</math>.
Par exemple, les arrondis d'ordres 0,1,2,3,4 du nombre <math>3,1805</math> sont successivement :
- <math>3\,-\,3,2\,-\,3,18\,-\,3,181\,-\,3,1805</math>
Lorsqu'on écrit <math>x\approx3,120</math>, cela signifie que l'arrondi à l'ordre 3 de <math>x</math> est égal à <math>3,120</math>, autrement dit que <math>3,1195 \leqslant x < 3,1205</math>.
Parties entière et fractionnaire d'une fraction rationnelle
Définition
Par analogie avec le fait que la partie entière d'un rationnel <math>a\over b</math> est le quotient euclidien de <math>a</math> par <math>b</math>, on définit la partie entière d'une fraction rationnelle <math>F={A\over B}</math> comme le quotient euclidien de <math>A</math> par <math>B</math>, après avoir montré que ce quotient ne dépend pas du représentant <math>{A\over B}</math> de la fraction. La partie entière de <math>F</math> est donc l'unique polynôme <math>Q</math> tel que <math>{A\over B}=Q+{R\over B}</math> avec <math>R</math> polynôme de degré strictement inférieur à celui de <math>B</math>. Notation : <math>\text{E}(F)</math>. Notons que cette partie entière n'est pas un entier, mais un polynôme.
La partie fractionnaire est <math>\text{E}(F)-F={R\over B}</math>.
Ces définitions se transmettent aux fonctions rationnelles.
Propriétés
- P1 : si <math>F</math> est de degré < 0, <math>\text{E}(F)=0</math>, et sinon <math>\deg(\text{E}(F))=\deg(F)</math> (et donc <math>\text {E}(F)=0\Leftrightarrow \deg{F}<0</math>).
- P2 : un polynôme <math>Q</math> est la partie entière d'une fraction rationnelle <math>F</math> si et seulement si <math>F-Q</math> est de degré strictement négatif.
- P3 : la partie entière d'une somme est la somme des parties entières : <math>\text{E}(F+G)=\text{E}(F)+\text{E}(G)</math>
Cette dernière propriété différencie la notion de partie entière dans les réels et dans les fractions rationnelles ; elle est très utile pour la recherche de décomposition en éléments simples.Modèle:Démonstration/début Pour P1 : si <math>F={A\over B}</math> est de degré < 0, <math>\deg A < \deg B</math>, donc le quotient <math>Q=\text{E}(F)</math> de <math>A</math> par <math>B</math> est bien nul. Sinon, <math>\deg{R}<\deg{B}</math>, donc <math>\deg{R}<\deg{BQ}</math>, donc <math>\deg{A}=\deg{(BQ+R)}=\deg{BQ}=\deg{B}+\deg{Q}</math>. Donc <math>\deg Q=\deg{A}-\deg{B}=\deg{F}</math>.
Pour P2 : sens direct : <math>F-Q={R\over B}</math> est bien de degré strictement négatif. Réciproquement, si <math>F-Q={{A-BQ}\over B}</math> est de degré strictement négatif, <math>\deg(A-BQ)<\deg B</math> donc <math>Q</math> est bien le quotient de <math>A</math> par <math>B</math>.
Pour P3 : comme <math>F+G-(\text{E}(F)+\text{E}(G))=F-\text{E}(F)+G-\text{E}(G)</math> son degré est < 0, donc par P2, la partie entière de <math>F+G</math> est bien <math>\text{E}(F)+\text{E}(G)</math>. Modèle:Démonstration/fin
Application
La partie entière d'un fonction rationnelle <math>f</math> de degré > 0 est une fonction polynomiale asymptote à <math>f</math> au voisinage de +∞ et -∞.
Notes
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Notes
