Pendule adiabatique

Un pendule adiabatique est un pendule dont la trajectoire est décrite par l'équation différentielle :

<math>\ddot{x} + \omega^2(t)\cdot{x} = 0</math>.

Adiabatisme

Lorsque la pulsation <math>\omega</math> varie lentement, on envisage une adiabatisme mécanique. L'analyse WKB (Gregor Wentzel - Hendrik Anthony Kramers - Léon Brillouin) montre bien qu'il existe un invariant adiabatique :

<math> E(t) = \hbar \cdot{\omega(t)}</math>,

c’est-à-dire <math>l(t)^3\theta(t)^4 = \text{cste}</math>

Haute fréquence

L'analyse WKB convient particulièrement quand la pulsation devient très élevée (c-à-d quand <math>l(t)</math> tend vers zéro ou <math>g(t)</math> tend vers l'infini, dans l'analyse pendulaire).

Alors la solution approchée est :

<math>x(t) \simeq A\sqrt[4]{l(t)} \cdot\exp(\imath S(t)) + B\sqrt[4]{l(t)}\cdot\exp(-\imath S(t))</math>,

où <math>S(t)</math> est la phase approchée, c’est-à-dire l'eikonale, primitive de la pulsation. Et les coefficients <math>A</math> et <math>B</math> sont ajustés au mieux avec les conditions initiales.

Voir aussi

• Pendule de Bessel
• Pendule de longueur variable
• Pendule simple