Pendule double
En mécanique, on désigne par pendule double un pendule à l'extrémité duquel on accroche un autre pendule. Son évolution est généralement chaotique.
Mise en équations
Approche lagrangienne
Le pendule est constitué de deux tiges de longueur <math> l_1 \,</math> et <math> l_2 \,</math>, de masse nulle et deux masses <math>m_1\,</math> et <math>m_2\,</math>.
L'énergie cinétique vaut :
<math>T=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta}_1^2 +
\frac{1}{2}m_2[l_1^2\dot{\theta}_1^2+l_2^2\dot{\theta}_2^2 +
2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)]
</math>
où <math>\theta_i\,</math> est l'angle par rapport à la verticale et <math>v_i\,</math> la vitesse du pendule <math>i\,</math>.
L'énergie potentielle vaut :
<math>V=m_1gz_1+m_2gz_2\,</math> (<math>z_i\,</math> étant l'altitude de la masse <math>i\,</math>), ou
<math>V=-(m_1+m_2)gl_1\cos(\theta_1)-m_2gl_2\cos(\theta_2)\,</math>.
Le lagrangien vaut donc :
<math>L=T-V\,</math>, soit
<math>L=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\dot{\theta}_1^2 +\frac{1}{2}m_2l_2^2\dot{\theta}_2^2
+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)
+(m_1+m_2)gl_1\cos(\theta_1)+m_2gl_2\cos(\theta_2)</math>
En appliquant les équations de Lagrange, on obtient les équations du mouvement :
(1) <math>(m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+ m_2l_2\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2) +(m_1+m_2)g\sin(\theta_1)=0</math>
(2) <math>l_1\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+l_2\ddot{\theta}_2- l_1\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)+g\sin(\theta_2)=0</math>
Ce système possède des solutions périodiques décomposables en deux modes, mais il est chaotique, c’est-à-dire qu'il possède aussi des solutions ni périodiques ni pseudo-périodiques, mais présentant en permanence un mouvement original, et qu'il est alors sensible aux conditions initiales.
Approximation des petites oscillations
Supposons qu'autour de l'équilibre, <math>\dot\theta_1 = 0 = \dot\theta_2</math>. Pour des petites oscillations autour de la position d'équilibre, nous pouvons introduire les approximations de MacLaurin <math>\sin\theta = \theta</math> et <math>\cos\theta = 1</math>. Les équations du mouvement peuvent alors être réduites au système :
- <math>\begin{alignat}{5}
(m_1+m_2)l_1\ddot\theta_1 &&\; + \;&& m_2 l_2\ddot\theta_2 &&\; + \;&& (m_1+m_2)g\theta_1 &&\; = \;&& 0 & \\ l_1\ddot\theta_1&&\; + \;&& l_2\ddot\theta_2 &&\; + \;&& g\theta_2 &&\; = \;&& 0& \end{alignat}</math>
Le double pendule peut alors être analysé en termes de modes normaux, en remarquant que le système ci-dessus peut être réduit à la forme matricielle <math>M\ddot\vec{\theta}+K\vec{\theta}=\vec0</math>.
Par exemple, pour <math>m_1=m_2</math> et <math>l_1=l_2=l</math>, ce système s'écrit : Modèle:Retrait
Approche Newtonienne
Les équations du mouvement peuvent également être trouvées en utilisant les complexes.
Représentons le double pendule ci-dessus dans le plan complexe de Gauss, en posant que l’axe des réels a même sens et même direction que la gravitation. Les points m1 et m2 représentant les mobiles 1 et 2 correspondent aux affixes z1 et z2. En fait, seuls les angles vont varier en fonction du temps puisque la masse et la longueur sont des constantes. Il faut donc chercher une manière de représenter les fonctions <math>\theta_1
</math> et <math>\theta_2 </math>.
Dès lors, puisque le module de z1 vaut l1, son argument <math>\theta_1
</math>, <math>z_1=l_1 (\cos \theta_1 + i\sin \theta_1 ) = l_1 e^{i \theta_1}
</math> . Ensuite, observons que z2 est issu d’une translation de z1 par le complexe z0=<math>l_2 e^{i \theta_2}</math> , c’est-à-dire un complexe tel que son module vaut l2 et son argument <math>\theta_2
</math>. En d’autres termes, z2 = z1 + z0, donc <math>z_2= l_1 e^{i \theta_1}+l_2 e^{i \theta_2}
</math>
Ici, les complexes z1 et z2 déterminent la position des mobiles1 et 2 en fonction du temps puisque <math>\theta_1 (t)
</math> et <math>\theta_2 (t) </math> sont des fonctions du temps. L'accélération d'une masse mobile s'obtient en dérivant deux fois par rapport au temps la fonction définissant sa position. Ainsi, l’accélération de z1 vaut
<math>a_{z_1} ={\operatorname{d^2}\!z_1\over\operatorname{d}\!t^2}=l_1 (i\ddot\theta_1 - \dot\theta^2_1)e^{i\theta_1}</math>
et que celle de la deuxième est égale à
<math>a_{z_2} ={\operatorname{d^2}\!z_2\over\operatorname{d}\!t^2}=l_1 (i\ddot\theta_1 - \dot\theta^2_1)e^{i\theta_1}+l_2 (i\ddot\theta_2 - \dot\theta^2_2)e^{i\theta_2}</math>
Notons-les respectivement <math>\ddot z_1 </math>et <math>\ddot z_2 </math>.
Revenons dans la vie réelle. Quand une masse est suspendue à une corde, une tension se produit le long de celle-ci. Appelons, T1 et T2, les tensions exercées par les masses m1 et m2 et représentons-les sous forme de complexes t1 et t2.
Nous observons alors que t1, z1 et 0 sont alignés ou colinéaires, ce qui permet d’écrire que <math>t_1=k_1 z_1 \, (k_1\in \reals)</math>. De même, t2, z0 et 0 sont alignés, ce qui permet d’affirmer que <math>t_2=k_2 z_0 \, (k_2\in \reals)</math>.
La formule de la dynamique F = m a, connue aussi sous le nom de la Modèle:2e loi de Newton, dit que la somme de toutes les forces appliquées à un mobile est égale au produit de l’accélération de celui-ci par sa masse.
Le mobile 2 est soumis à la tension T2 et la force due à la gravité m2 g, donnant les relations suivantes :
<math>F=ma_{z_2} = t_2+m_2g \Longleftrightarrow m_2\ddot z_2-m_2g=t_2 \Longleftrightarrow \ddot z_2-g =\frac{t_2}{m_2}=\frac{k_2z_0}{m_2} \, \Rightarrow \, \frac{\ddot z_2-g}{z_0}=\frac{k_2}{m_2} \,...(1)</math>
Le mobile 1 est soumis à la tension T1, à la force due à la gravité m1g et à la tension T2’ qui est issue du principe des actions réciproques (la Modèle:3e loi de Newton) telle que T2’= - T2. Dès lors, nous pouvons dire que
<math>F=ma_{z_1}=t_1 -t_2+m_1g \Longleftrightarrow t_1=t_2-m_1g+m_1\ddot z_1 \Longleftrightarrow t_1=m_2\ddot z_2-m_2g-m_1g+m_1\ddot z_1 </math>
<math>\Longleftrightarrow m_2\ddot z_2-m_2g-m_1g+m_1\ddot z_1=k_1z_1 \Longleftrightarrow \frac{m_2\ddot z_2-m_2g-m_1g+m_1\ddot z_1}{z_1}=k_1 \,...(2)</math>
Les membres de droite des équations (1) et (2) étant réels, exprimons que la partie imaginaire des membres de gauche est nulle :
Tout d’abord, concernant l’équation (1).
Calculons le membre de gauche.
<math>\frac{\ddot z_2-g}{z_0}=\frac{l_1 (i\ddot\theta_1 - \dot\theta^2_1)e^{i\theta_1}+l_2 (i\ddot\theta_2 - \dot\theta^2_2)e^{i\theta_2}-g}{l_2e^{i\theta_2}}</math>
<math>=\frac{l_1i\ddot\theta_1 \cos\theta_1-l_1\dot\theta^2_1 \cos\theta_1-l_1\ddot\theta_1 \sin\theta_1-l_1i\dot\theta^2_1 \sin\theta_1+l_2i\ddot\theta_2 \cos\theta_2-l_2\dot\theta^2_2 \cos\theta_2-l_2\ddot\theta_2 \sin\theta_2-l_2i\dot\theta^2_2 \sin\theta_2-g}{l_2\cos\theta_2+l_2i\sin\theta_2}</math>
Appliquons le binôme conjugué pour supprimer le terme imaginaire au dénominateur, ce qui revient à multiplier la fraction par <math>\frac{\cos\theta_2-i\sin\theta_2}{\cos\theta_2-i\sin\theta_2}</math>.
Maintenant, seuls les imaginaires purs intéressent. C’est pourquoi, relevons uniquement les imaginaires purs issus du produit du numérateur par le conjugué du dénominateur. Nous conservons alors uniquement :
<math>(l_1i\ddot\theta_1 \cos\theta_1-l_1i\dot\theta^2_1 \sin\theta_1+l_2i\ddot\theta_2 \cos\theta_2-l_2i\dot\theta^2_2 \sin\theta_2)(\cos\theta_2)</math>
<math>+(-l_1\dot\theta^2_1 \cos\theta_1-l_1\ddot\theta_1 \sin\theta_1-l_2\dot\theta^2_2 \cos\theta_2-l_2\ddot\theta_2 \sin\theta_2-g)(-i\sin\theta_2)</math>
Ainsi, nous pouvons affirmer que :
<math>\text{Im}(\frac{\ddot z_2-g}{z_0})</math>
<math>=\frac{l_1\ddot\theta_1 \cos\theta_1\cos\theta_2-l_1\dot\theta^2_1 \sin\theta_1\cos\theta_2+l_2\ddot\theta_2 \cos^2\theta_2-l_2\dot\theta^2_2 \cos\theta_2\sin\theta_2}{l_2} </math>
<math>+\frac{l_1\dot\theta^2_1 \sin\theta_2\cos\theta_1+l_1\ddot\theta_1 \sin\theta_1\sin\theta_2+l_2\dot\theta^2_2 \sin\theta_2\cos\theta_2+l_2\ddot\theta_2 \sin^2\theta_2+g\sin\theta_2}{l_2}</math>
<math>=\frac{l_1\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+l_2\ddot{\theta}_2- l_1\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)+g\sin(\theta_2)}{l_2}</math>
Comme il faut que la partie imaginaire soit nulle, nous obtenons cette première équation différentielle.
<math>l_1\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+l_2\ddot{\theta}_2- l_1\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)+g\sin(\theta_2)=0</math>
Ensuite, concernant l’équation (2). Nous procédons de la même manière. Calculons le membre de gauche.
<math>\frac{m_2\ddot z_2-m_2g-m_1g+m_1\ddot z_1}{z_1}</math>
<math>=\frac{m_2[l_1 (i\ddot\theta_1 - \dot\theta^2_1)(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)+l_2 (i\ddot\theta_2 - \dot\theta^2_2)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)]-m_2g-m_1g+m_1[l_1 (i\ddot\theta_1 - \dot\theta^2_1)(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)]}{l_1\cos\theta_1+l_1i\sin\theta_1}</math>
<math>=\frac{m_1[l_1i\ddot\theta_1 \cos\theta_1-l_1\dot\theta^2_1 \cos\theta_1-l_1\ddot\theta_1 \sin\theta_1-l_1i\dot\theta^2_1 \sin\theta_1]-m_1g-m_2g}{l_1\cos\theta_1+l_1i\sin\theta_1}</math>
<math>+\frac{m_2[l_1i\ddot\theta_1 \cos\theta_1-l_1\dot\theta^2_1 \cos\theta_1-l_1\ddot\theta_1 \sin\theta_1-l_1i\dot\theta^2_1 \sin\theta_1+l_2i\ddot\theta_2 \cos\theta_2-l_2\dot\theta^2_2 \cos\theta_2-l_2\ddot\theta_2 \sin\theta_2-l_2i\dot\theta^2_2 \sin\theta_2]}{l_1\cos\theta_1+l_1i\sin\theta_1}</math>
Appliquons le binôme conjugué pour supprimer le terme imaginaire au dénominateur, ce qui revient à multiplier la fraction par<math>\frac{\cos\theta_1-i\sin\theta_1}{\cos\theta_1-i\sin\theta_1}</math>.
Maintenant, seuls les imaginaires purs intéressent. C’est pourquoi, relevons uniquement les imaginaires purs issus du produit du numérateur par le conjugué du dénominateur. Nous gardons alors uniquement
<math>[m_1(l_1i\ddot\theta_1 \cos\theta_1-l_1i\dot\theta^2_1 \sin\theta_1)+m_2(l_1i\ddot\theta_1 \cos\theta_1-l_1i\dot\theta^2_1 \sin\theta_1+l_2i\ddot\theta_2 \cos\theta_2-l_2i\dot\theta^2_2 \sin\theta_2)][\cos\theta_1]</math>
<math>+[m_1(-l_1\dot\theta^2_1 \cos\theta_1-l_1\ddot\theta_1 \sin\theta_1)+m_2(-l_1\dot\theta^2_1 \cos\theta_1-l_1\ddot\theta_1 \sin\theta_1-l_2\dot\theta^2_2 \cos\theta_2-l_2\ddot\theta_2 \sin\theta_2)-m_1g-m_2g][-i\sin\theta_1]</math>
Ainsi, nous pouvons affirmer que
<math>\text{Im}(\frac{m_2\ddot z_2-m_2g-m_1g+m_1\ddot z_1}{z_1})</math>
<math>=\frac{m_1l_1\ddot\theta_1 \cos^2\theta_1-m_1l_1\dot\theta^2_1 \sin\theta_1\cos\theta_1+m_2l_1\ddot\theta_1 \cos^2\theta_1-m_2l_1\dot\theta^2_1 \sin\theta_1\cos\theta_1+m_2l_2\ddot\theta_2 \cos\theta_1\cos\theta_2}{l_1}</math>
<math>+\frac{-m_2l_2\dot\theta^2_2 \sin\theta_2\cos\theta_1+m_1l_1\dot\theta^2_1 \sin\theta_1\cos\theta_1+m_1l_1\ddot\theta_1 \sin^2\theta_1+m_2l_1\dot\theta^2_1 \sin\theta_1\cos\theta_1+m_2l_1\ddot\theta_1 \sin^2\theta_1}{l_1}</math>
<math>+\frac{m_2l_2\dot\theta^2_2 \sin\theta_1\cos\theta_2+m_2l_2\ddot\theta_2\sin\theta_1 \sin\theta_2+m_1\sin\theta_1g+m_2\sin\theta_1g}{l_1}</math>
<math>=\frac{(m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+ m_2l_2\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2) +(m_1+m_2)g\sin(\theta_1)}{l_1}</math>
Comme il faut que la partie imaginaire soit nulle, nous obtenons cette deuxième différentielle.
<math>(m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+ m_2l_2\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2) +(m_1+m_2)g\sin(\theta_1)=0</math>
Nous avons donc pour finir :
<math>\begin{cases} l_1\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+l_2\ddot{\theta}_2- l_1\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)+g\sin(\theta_2)=0 \\ (m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+ m_2l_2\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2) +(m_1+m_2)g\sin(\theta_1)=0 \end{cases}</math>
Ce sont les mêmes équations que pour l'approche lagrangienne.
Pendule à entraînement circulaire uniforme
Un autre exercice classique concerne le cas où la première tige se meut d'un mouvement uniforme autour de son axe. On a alors <math>\dot{\theta_1}=\omega</math> et l'équation différentielle du mouvement, issue de (2), s'écrit, en posant <math>\theta_2=\theta\,</math> :
<math>l_2\ddot{\theta}=- l_1\omega^2\sin(\theta-\omega t)-g\sin\theta=-(1+\frac{l_1\omega^2}{g}\cos\omega t)g\sin\theta+l_1\omega^2\sin\omega t \cos\theta</math>.
Pour de petites oscillations et <math>\frac{l_1\omega^2}{g}<<1\,</math>, l'équation se linéarise en <math>l_2\ddot{\theta}+g\theta=l_1\omega^2\sin(\omega t)</math> et le système se comporte donc en oscillateur harmonique forcé :
Mais si, dans ce cas, on choisit <math>\omega=\sqrt{g/l_2}\,</math>, on obtient un phénomène de résonance ; par définition, les petites oscillations ne restent pas petites, et l'on tombe en fait dans un mouvement chaotique :
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