Plus petit commun multiple

1. REDIRECT Modèle:Voir homonymes

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Fichier:Symmetrical 5-set Venn diagram LCM 2 3 4 5 7.svg

Diagramme de Venn montrant les plus petits communs multiples de 2, 3, 4, 5 et 7.

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, le plus petit commun multiple – en abrégé PPCM – (peut s'appeler aussi PPMC, soit « plus petit multiple commun ») de deux entiers non nuls a et b est le plus petit entier strictement positif qui soit multiple de ces deux nombres. On le note a ∨ b<ref>Cette notation, utilisée plus généralement pour la borne supérieure dans les treillis ici celui de la divisibilité, sert également pour la disjonction logique.</ref> ou PPCM(a, b), ou parfois simplement [a, b]<ref>La notation correspondante pour le PGCD est (a, b).</ref>.

On peut également définir le PPCM de a et b comme un multiple commun de a et de b qui divise tous les autres. Cette seconde définition se généralise à un anneau commutatif quelconque, mais on perd en général l'existence et l'unicité ; on parle alors d'un PPCM de deux éléments. L'existence est assurée dans les anneaux intègres factoriels ou même seulement à PGCD.

Plus généralement, le PPCM se définit pour un nombre quelconque d'éléments : le PPCM de n entiers non nuls est le plus petit entier strictement positif multiple simultanément de ces n entiers.

Définition

Soient a et b deux entiers relatifs :

• si a ou b est nul, PPCM(a, b) = 0 ;
• si a et b sont non nuls, considérons l'ensemble des entiers strictement positifs qui sont multiples à la fois de a et de b. Cet ensemble d'entiers naturels est non vide, car il contient |ab|. Il possède donc un plus petit élément, et c'est cet entier (strictement positif) que l'on appelle le PPCM de a et b :

<math>\operatorname{PPCM}(a,b)=\min\left(\left\{ m\in\N^*\mid a|m~{\rm et}~b|m\right\}\right)</math>.

Calcul

À l'aide de la décomposition en facteurs premiers

La décomposition en facteurs premiers du PPCM de n entiers strictement positifs contient tous les nombres premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions en facteurs premiers de ces n entiers, chacun affecté du plus grand exposant qui apparait dans celles-ci.

On obtient donc une méthode de calcul du PPCM en décomposant chaque nombre en produit de nombres premiers.

Exemple

Prenons les nombres 60 et 168 et décomposons-les en produits de facteurs premiers. On a :

• 60 = 2×2×3×5 = 2²×3×5 ;
• 168 = 2×2×2×3×7 = 2Modèle:3×3×7.

Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a ainsi Modèle:Nobr.

À l'aide du PGCD

Dès que l'un des deux entiers a ou b est non nul, leur plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant leur plus grand commun diviseur (PGCD)<ref name=w/> :

<math>\operatorname{PPCM}(a,b)=\dfrac{|a b|}{\operatorname{PGCD}(a,b)}</math>.

Alternativement, l'existence d'un PGCD se déduit, ainsi que la formule, de celle d'un PPCM au sens fort, c'est-à-dire — cf. première propriété ci-dessous — d'un multiple commun qui divise tous les autres : Modèle:Démonstration/début

Définissons les entiers m et d par : m = PPCM(a, b) et d = |ab|/m. Alors, pour tout entier n,

<math>n\mid a,b\iff nb,na\mid ab\iff b,a\mid ab/n\iff m\mid md/n\iff n\mid d</math>

donc PGCD(a, b) = d.

Ainsi, l'algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD permet de calculer aussi le PPCM.

Exemple

Avec l'algorithme d'Euclide, calculons PGCD(60, 168) :
168 = 60 × 2 + 48
60 = 48 × 1 + 12
48 = 12 × 4 + 0.

Donc PGCD(60, 168) = 12 et PPCM(60, 168) = (60×168)/12 = 840.

Propriétés

Soient Modèle:Math trois entiers naturels non nuls.

• Les multiples communs à a et b sont les multiples de PPCM(a, b)<ref name=w/>
• En particulier, <math>\operatorname{PPCM}(a,b)=a\iff b\mid a</math>
• <math>\operatorname{PPCM}(a,b,c)=\operatorname{PPCM}(\operatorname{PPCM}(a,b),c)=\operatorname{PPCM}(a,\operatorname{PPCM}(b,c))</math> (on peut étendre à un nombre arbitraire d'éléments)
• <math>\operatorname{PPCM}(ac,bc)=c\operatorname{PPCM}(a,b)</math><ref name=w>Pour une démonstration, voir par exemple « PPCM » sur Wikiversité Modèle:Infra.</ref>
• <math>\operatorname{PGCD}(a,\operatorname{PPCM}(a,b))=\operatorname{PPCM}(a,\operatorname{PGCD}(a,b))=a</math>
• <math>\operatorname{PGCD}(a,\operatorname{PPCM}(b,c))=\operatorname{PPCM}(\operatorname{PGCD}(a,b),\operatorname{PGCD}(a,c))</math>
• <math>\operatorname{PPCM}(a,\operatorname{PGCD}(b,c))=\operatorname{PGCD}(\operatorname{PPCM}(a,b),\operatorname{PPCM}(a,c))</math>
• <math>\operatorname{PGCD}(\operatorname{PPCM}(a,b),\operatorname{PPCM}(b,c),\operatorname{PPCM}(a,c))=\operatorname{PPCM}(\operatorname{PGCD}(a,b),\operatorname{PGCD}(b,c),\operatorname{PGCD}(a,c))</math>.

Voir aussi

Articles connexes

• Livre VII des Éléments d'Euclide
• Treillis (ensemble ordonné)

Lien externe

Outil en ligne calculant le PPCM de deux nombres