Potentiel effectif
{{#invoke:Bandeau|ébauche}} Le potentiel effectif est une expression mathématique de l'énergie d'un corps en interaction gravitationnelle.
La loi de conservation de l'énergie mécanique implique qu'en l'absence de forces dissipatives, l'énergie mécanique <math>E_m</math> reste constante. De plus, la conservation du moment cinétique implique que <math> m r^2 \dot{\theta} = L_0</math>.
En coordonnées polaires, la vitesse s'écrit <math>v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2</math> ; il vient alors :
- <math> E_m =\frac{1}{2} m v^2 + \frac{k}{r} = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \frac{1}{2} m r^2\dot{\theta}^2 + \frac{k}{r} = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \left[\frac{L_0^2}{2mr^2} + \frac{k}{r}\right]</math>
On aboutit ainsi à une équation reliant l'énergie cinétique radiale à un potentiel uniquement radial, le potentiel effectif :
- <math>U_{\text{eff}} = \frac{L_0^2}{2mr^2} + \frac{k}{r}</math>
somme d'un terme gravitationnel en <math>+\frac{1}{r}</math> et d'un terme rotationnel en <math>+\frac{1}{r^2}</math>.
On peut alors étudier le mouvement radial à l'aide d'une courbe : pour une énergie <math>E_m</math> donnée, le domaine de <math>r</math> possible est délimité par la courbe :
- pour <math>E < 0</math>, on trouve deux valeurs limites, l'une inférieure et l'autre supérieure : il s'agit du péricentre et de l'apocentre d'une ellipse ;
- pour <math>E = 0</math>, la valeur supérieure est renvoyée à l'infini : la trajectoire est celle d'une parabole ;
- pour <math>E > 0</math>, il n'y a pas de limite supérieure : la trajectoire est donc une hyperbole.
