Préordre

En mathématiques, un préordre<ref>Modèle:Bourbaki-Ensembles, Paris, Masson, 1998, ch. III, § 1, Modèle:N°, Modèle:P., écrit « préordre » et « préordonné ».</ref> est une relation binaire réflexive et transitive.

C'est-à-dire que si Modèle:Math est un ensemble, une relation binaire <math>{\mathcal R}</math> sur Modèle:Math est un préordre lorsque :

• <math>\forall x \in E\quad x{\mathcal R}x</math> (réflexivité) ;
• <math>\forall (x,y,z) \in E^{3}, (x{\mathcal R}y\land y{\mathcal R}z)\Rightarrow x{\mathcal R}z</math> (transitivité).

Un ensemble préordonné est un ensemble muni d'un préordre, ou plus formellement un couple <math>(E,\mathcal{R})</math> où <math>E</math> désigne un ensemble et <math>\mathcal{R}</math> un préordre sur <math>E</math>.

Exemples

• Les ordres sont les préordres antisymétriques.
• Les relations d'équivalence sont les préordres symétriques.
• Dans un anneau commutatif, la relation « divise » est une relation de préordre. En général, ce n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas antisymétrique (par exemple dans l'ensemble des entiers relatifs, 1 divise –1 et –1 divise 1 alors que 1 et –1 sont différents).
• Sur les sommets d'un graphe orienté, la relation « être accessible depuis » est un préordre (c'est en fait la fermeture réflexive et transitive du graphe). Si le graphe est sans cycle, cette relation devient un ordre.
• Entre normes sur un même espace vectoriel réel, la relation « est plus fine que » est un préordre.
• Entre fonctions réelles d'une variable réelle, la domination est un préordre.
• Sur l'ensemble des disques du plan, la relation « a une aire au plus égale à celle de » est un préordre. Ce n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas antisymétrique (deux disques différents peuvent avoir même aire). Cette même relation, sur l'ensemble des disques fermés (ou celui des disques ouverts) de centre fixé, est une relation d'ordre<ref>Paul Ruff, « Relation d'ordre », Fiches pédagogiques à destination des professeurs de collège, Modèle:N°, 4 janvier 1963.</ref>.

Compléments

Si Modèle:Math et Modèle:Math sont deux ensembles préordonnés, une application Modèle:Math de Modèle:Math dans Modèle:Math est dite<ref>Modèle:Harvsp, ch. III, § 1, Modèle:N°, Modèle:P..</ref> croissante si Modèle:Math.

Si Modèle:Math est un ensemble, Modèle:Math un ensemble préordonné et Modèle:Math une application de Modèle:Math dans Modèle:Math, la relation Modèle:Math définie par Modèle:Math est un préordre sur Modèle:Math (cf. dernier exemple ci-dessus, où Modèle:Math, qui à tout cercle associe son aire, est à valeurs dans un ensemble ordonné : les réels — ou les réels positifs).

Si Modèle:Math est un ensemble préordonné, alors :

• la relation « Modèle:Math » est une relation d'ordre strict<ref>Antoine Rolland, Procédures d'agrégation ordinale de préférences avec points de référence pour l'aide à la décision, thèse de doctorat en informatique, université Pierre-et-Marie-Curie, 2008.</ref> ;
• la relation ~ définie par « Modèle:Math » est une relation d'équivalence ;
• pour deux éléments Modèle:Math et Modèle:Math de l'ensemble quotient de Modèle:Math par Modèle:Math, les deux conditions suivantes reviennent alors au même :
  • pour tout élément Modèle:Math de Modèle:Math et tout élément Modèle:Math de Modèle:Math, Modèle:Math,
  • il existe un élément Modèle:Math de Modèle:Math et un élément Modèle:Math de Modèle:Math tels que Modèle:Math.
    On peut alors définir une relation d'ordre sur cet ensemble quotient Modèle:Math en posant : Modèle:Math si l'une des conditions précédentes est réalisée<ref>Modèle:Harvsp, ch. III, § 1, Modèle:N°, Modèle:P..</ref> ;
  • si Modèle:Math est une partie de Modèle:Math contenant exactement un représentant de chaque classe d'équivalence, la restriction Modèle:Math de Modèle:Math à Modèle:Math est un ordre et Modèle:Math est isomorphe à Modèle:Math (cf. dernier exemple ci-dessus).

Catégorie associée à un ensemble préordonné

À tout ensemble préordonné <math>(E,{\cal R})</math>, on peut associer la catégorie <math>\bar E</math> ainsi définie :

• les objets de <math>\bar{E}</math> sont les éléments de <math>E</math> ;
• étant donnés deux objets <math>x</math> et <math>y</math> de <math>\bar E</math>, <math>\operatorname{Hom}_{\bar E}(x,y)</math> se compose d'une seule flèche si <math>x{\cal R}y</math> et est vide dans le cas contraire.

En particulier lorsque <math>\cal R</math> est l'égalité, <math>\bar E</math> est la catégorie discrète ayant <math>E</math> comme collection d'objets<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Notes et références

<references/>

Article connexe

Clôture réflexive transitive