Rationnel de Gauss

{{#invoke:Bandeau|ébauche}} En mathématiques, un Modèle:Refnec est un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont des nombres rationnels.

L'ensemble des rationnels de Gauss est donc

<math>\{p+q\mathrm i\mid(p,q)\in\Q^2\}.</math>

C'est un sous-corps de ℂ, généralement noté ℚ(Modèle:Math) ou ℚ[[[:Modèle:Math]]].

Ces nombres tirent leur nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss.

Propriétés

• ℚ(Modèle:Math) est le corps de rupture du polynôme X² + 1. C'est donc un corps quadratique imaginaire et un corps cyclotomique.
• L'[[Entier quadratique#Entier quadratique|anneau des entiers de ℚ(Modèle:Math)]] est l'anneau ℤ[[[:Modèle:Math]]] des entiers de Gauss. Son discriminant est –4<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}}) Ian Stewart, David O. Tall, Algebraic Number Theory, Chapman & Hall, 1979, Modèle:ISBN. Chap.3.</ref>.
• ℚ(Modèle:Math) n'est ni un corps totalement ordonnable, ni un espace complet pour la distance euclidienne usuelle, associée au module d'un nombre complexe (ou même pour n'importe quelle valeur absolue non triviale<ref>Modèle:Lien web.</ref>).